2014-02-24
1225
Оно устанавливает связь между временным (t) и пространственным 
изменением температуры в любой внутренней точке тела, в которой происходит процесс теплопроводности.
Для простоты анализа примем, что тело изотропное, когда его теплофизические свойства не зависят от направления. Пусть также коэффициент теплопроводности не зависит от температуры. Тогда 
и уравнение теплопроводности (1.5) упрощается
. (1.6)
Существует более компактная форма записи дифференциального уравнения теплопроводности
(1.7)
где 
– лапласиан, Набла в квадрате или оператор Лапласа в декартовой системе координат; 
- коэффициент температуропроводности, м2/с.
Запись оператора Лапласа в других системах координат:
а) цилиндрическая:
, (1.8)
б) сферическая: 
, (1.9)
где j - азимутальный угол или угол долготы (меридианы), q - угол широты (параллели) цилиндрической и сферической систем координат.
Для одномерного поля температур можно записать общее уравнение:
(1.10)
где k – фактор геометрической формы равный 1 – для плоского тела, 2 – цилиндра и 3 для шара.
|
|
|
Рассмотрим физический смысл коэффициента температуропроводности а.
1) это физический параметр, зависящий от рода вещества и в основном от температуры;
2) существенен только для нестационарных процессов;
3) характеризует скорость изменения температуры, т.е. а – представляет меру теплоинерционных свойств. Это вытекает из уравнения (1.7), т.к. 
то скорость изменения температуры будет тем больше, чем больше а. Т.е. выравнивание температур будет быстрее происходить в том теле, где температуропроводность больше.
Т.к. 
, то можно составить такую "цепочку" неравенств:
аметаллов>ажидкости>агазов
Анализ 1) Пусть 
. Получим уравнение Фурье:
; (1.11)
2) 
, 
уравнение Пуассона; (1.12)
3) 
, 
уравнение Лапласа. (1.13)
В уравнениях (1.12) и (1.13) температуропроводность отсутствует, т.е. 
4) 
; 
когда 
, то получим одномерное уравнение 
. (1.14)
Нахождение решений этих уравнений в частных производных представляет собой основное содержание теории теплопроводности.
