Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод последовательных приближений. Изложим этот метод применительно к дифференциальному уравнению первого порядка

(18.1)

с начальным условием

(18.2)

Предполагается, что в некоторой окрестности точки М₀ (x₀, у₀) уравнение (18.1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения.

Будем строить, искомое решение у=у(х) для значений х≥х₀ Случай х≤х₀ вполне аналогичен. Интегрируя правую и левую части уравнения (18.1) в пределах от х₀ до х, получим

или, в силу начального условия (18.2), будем иметь

(18.3)

Так как искомая функция у=у(х) находятся под знаком интеграла, то уравнение (18.3) является интегральным. Очевидно, решение интегрального уравнения (18.3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (18.1) и начальному условию (18.2).

Для нахождения этого решения применим метод последовательных приближений. Заменяя в равенстве (18.3)неизвестную функцию у данным значением у₀, получим первое приближение

Далее, подставив в равенстве (18.3) вместо неизвестной функции у найденную функцию y₁, будем иметь второе приближение

Вообще, все дальнейшие приближения строятся по формуле

(18.4)

Геометрически последовательные приближения представляют собой кривые у_п = у_п(х) (n=1, 2,...), проходящие через общую точку M₀(x₀,y₀).

Замечание. При методе последовательных приближений в качестве начального приближения у₀, вообще говоря, можно выбирать любую функцию, достаточно близкую к точному решению у.

Например, иногда выгодно в качестве у₀ брать конечный отрезок ряда Тейлора искомого решения.

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно.

Пример 18.1. Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения