2014-02-09
2726
Примеры
Определение
Числовая последовательность
Последовательность
Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.
| Содержание · 1 Определение · 2 Примеры · 3 Операции над последовательностями · 4 Подпоследовательности o 4.1 Примеры o 4.2 Свойства · 5 Предельная точка последовательности · 6 Предел последовательности · 7 Некоторые виды последовательностей o 7.1 Ограниченные и неограниченные последовательности § 7.1.1 Критерий ограниченности числовой последовательности § 7.1.2 Свойства ограниченных последовательностей o 7.2 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности § 7.2.1 Свойства бесконечно малых последовательностей o 7.3 Сходящиеся и расходящиеся последовательности § 7.3.1 Свойства сходящихся последовательностей o 7.4 Монотонные последовательности o 7.5 Фундаментальные последовательности |
Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел, либо множество комплексных чисел. Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.
|
|
|
· Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид.
· Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид.
· Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида. В частности, пятым членом x 5 этой последовательности является слово «май».
На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.
| Пусть на множестве X определена N -арная операция f: Тогда для элементов,, …, множества всех последовательностей элементов множества X операция f будет определяться следующим образом: |
Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.
Суммой числовых последовательностей (xn) и (yn) называется числовая последовательность (zn) такая, что zn = xn + yn.
Разностью числовых последовательностей (xn) и (yn) называется числовая последовательность (zn) такая, что zn = xn − yn.
Произведением числовых последовательностей xn и yn называется числовая последовательность (zn) такая, что.
Частным числовой последовательности xn и числовой последовательности yn, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность. Если в последовательности yn на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность.
|
|
|
Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.
