Предел последовательности

Предельная точка последовательности

Свойства

Примеры

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x_n) — это последовательность, где (k_n) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

· Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

· Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

· Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

· Для всякой подпоследовательности верно, что.

· Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

· Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

· Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

· Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

· Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Основная статья: Предельная точка

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Основная статья: Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.