Мода и медиана

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая (средний темп роста) рассчитывается из нескольких относительных величин, характеризующих изменение признака во времени:

где Т₁,₂, _n – относительные величины или темпы роста;

n – количество относительных величин.

Пример 16

В течение 4-х лет ежегодные темпы роста выработки рабочих составили 102,0%; 102,5%; 103,4%; 101,0%.

Средний темп роста выработки составил:

В среднем выработка возрастала ежегодно на 2,2%.

Пример 17

Рассчитать среднемесячный темп изменения объема продаж продукции фирмы.

Таблица 16 – Динамика объема продаж

Месяц	Объем продаж, ед.	Темп изменения
Январь		–
Февраль		1,0059
Март		0,9972
Апрель		1,0055
Май		1,0098

Сначала, зная объем продаж за каждый месяц, можно определить месячные темпы изменения отношением объема продаж данного месяца к объему продаж предыдущего месяца (графа 3 таблицы). Затем по формуле (10) рассчитаем среднемесячный темп изменения:

Это число показывает, что в среднем за рассматриваемый период объем продаж ежемесячно возрастал на 0,46%

(100,46 – 100).

Мода и медиана относятся к структурным средним. Они используются как дополнительные характеристики к средним величинам или вместо них. Мода и медиана могут использоваться и самостоятельно, когда рассчитывать средние величины не имеет смысла. Например, в маркетинговых исследованиях выявляются товары, услуги, пользующиеся наибольшим спросом; в демографических исследованиях – самый популярный возраст вступления в брак, наиболее распространенные заболевания, наиболее часто встречающиеся причины травматизма и т.д.

Мода – это значение признака (варианта), которое встречается в изучаемой статистической совокупности чаще всего. Выражается в тех же единицах измерения, что и значения признака.

В дискретном вариационном ряду значение моды определить очень просто – оно соответствует наибольшему значению частоты.

Пример 18

Изучены пропуски занятий в группе студентов в первом семестре. Студенты сгруппированы в порядке возрастания пропусков в таблице 17.

Таблица 17 – Пропуски занятий студентов в первом семестре

Продолжительность пропусков, час.						Итого
Количество студентов, чел.

В таблице 17 представлен дискретный вариационный ряд. Мода в нем составляет 1 час, так как это значение повторяется наибольшее количество раз – 7.

В интервальном вариационном ряду сначала надо определить модальный интервал, в котором находится мода. Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту. Затем можно приближенно определить значение моды по формуле

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

_– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Пример 19

Изучено неотработанное время в течение месяца в группе работников. Данные сгруппированы.

Таблица 18 – Неотработанное время группой работников

Неотработанное время, час.	0 – 6	6 – 12	12 – 18	18 – 24	Итого
Количество работников, чел.

В таблице 18 представлен интервальный вариационный ряд. Интервал от 6 до 12 часов имеет наибольшую частоту – 10, поэтому он является модальным. Мода находится в этом интервале, ее значение определяется по формуле (11) и составляет:

Медиана – это значение признака (варианта), которое находится в середине вариационного ряда распределения. Медиана делит ряд на две равные части.

Ряд должен быть ранжирован, то есть значения вариант должны быть расположены в порядке возрастания или убывания.

В простом ряду чисел, не имеющем частот, медиану найти просто. Когда ряд состоит из нечетного количества чисел, медиана равна числу, стоящему в середине.

Пример 20

Группа работников из 7 человек имеет следующий возраст в годах:

20, 28, 31, 35, 42, 49, 53.

Медиана равна 35 годам.

Когда ряд состоит из четного количества чисел, в качестве медианы берется средняя арифметическая из двух значений признака, стоящих в середине ряда.

Пример 21

Группа работников из 8 человек имеет следующий возраст в годах:

20, 28, 31, 35, 42, 49, 53, 56.

Решение:

Медиана равна: (35+42) / 2 = 38,5 лет.

В дискретном ряду распределения, имеющем частоты, надо сначала определить место медианы, или ее порядковый номер, по формуле

Затем рассчитывается сумма накопленных частот для каждого значения признака. Первая накопленная частота равна сумме первой и второй частот. Каждая следующая накопленная частота определяется как сумма предыдущей накопленной частоты и обычной частоты, соответствующей данной графе. Значение признака, соответствующее той накопленной частоте, в которой находится порядковый номер медианы, и будет являться медианой.

Пример 22

Рассмотрим определение медианы в примере 18, добавим графу с накопленными частотами.

Таблица 19 - Пропуски занятий студентов в первом семестре

Продолжительность пропусков, час.						Итого
Количество студентов, чел.
Сумма накопленных частот						–

В данном примере порядковый номер медианы определен по формуле (12) и равен:

(20+1) / 2 = 10,5

Этот порядковый номер содержится в накопленной частоте 16, а ей соответствует значение признака 2 часа – это и есть медиана.

В интервально-вариационном ряду распределения сначала определяется медианный интервал с помощью суммы накопленных частот, как описывалось выше, а затем рассчитывается значение медианы по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

∑f – сумма частот ряда;

– сумма накопленных частот до медианного интервала;

– частота медианного интервала.

Пример 23

Рассмотрим определение медианы в примере 19.

Таблица 20 – Неотработанное время группой работников

Неотработанное время, час.	0 – 6	6 – 12	12 – 18	18 – 24	Итого
Количество работников, чел.
Сумма накопленных частот					–

Порядковый номер медианы определяется по формуле (12) и равен:

(20+1)/2 = 10,5

Этот порядковый номер содержится в накопленной частоте 15, следовательно, медианным является интервал от 6 до 12 часов. Значение медианы определяется по формуле (13) и составляет: