Плотность квантовых состояний в квантово-размерных структурах с квантовыми ямами, квантовыми нитями и квантовыми точками

Статистика примесных состояний. Функция распределения электронов и дырок по примесным состояниям. Плотность примесных состояний. Примесные зоны. Влияние температуры и концентрации примеси на концентрацию свободных электронов и дырок.

Статистика носителей заряда в легированных полупроводниках

Легирован мелкими донорами.

Концентрация доноров – Nd, энергия ионизации - DEd.

Электронные процессы

При T = 0 k доноры электрически нейтральны и концентрация электронов равна нулю.

При повышении T: доноры ионизуются и концентрация электронов будет равна концентрации ионизованных доноров.

При росте T – все доноры ионизуются и концентрация электронов:

– концентрация доноров

- наступает истощение примеси.

Рассмотренный интервал T – область примесной проводимости.

Дальнейший рост T: в некотором диапазоне T n не будет зависеть от T, пока не начнется процесс ионизации собственных атомов (смотри *).

Функции распределения электронов и дырок по примесным состояниям ft

Функция ft должна отличаться от функции fФ-Д (E, T) из-за спинового вырождения состояний в энергетической зоне,

что увеличивает вероятность перехода электрона из зоны проводимости на уровень Ed.

Это учитывает функция ft в виде:,где

gi – коэффициент, учитывающий спиновое вырождение уровней.

Ei – основной уровень примесного центра.

Функция распределения электронов по уровням доноров:

- определяет вероятность нахождения доноров в нейтральном состоянии D0 (D+ e-)*

Для доноров g = 2

Ed – основной уровень

* или электрона на уровне Ed

При f = Ed fd = 2/3 (выше, чем в зоне проводимости)

Вероятность нахождения донора в ионизованном состоянии:

или дырки на уровне донора.

Функция распределения дырок по уровням акцепторов

- вероятность нахождения акцепторов в нейтральном состоянии A0(A-h+)

для акцептора g = 2, EA – основной уровень.

Вероятность нахождения акцепторов в ионизированном состоянии:

(или вероятность нахождения электронов уровня EA – (А-) состояние акцептора)

А0(A-h+) = A- + h+ - ионизация акцептора, возникает дырка в валентной зоне или это адекватно переходу электрона из валентной зоны на уровень EA.

Концентрация нейтральных и ионизированных доноров и акцепторов

Концентрация нейтральных доноров

Nd - концентрация доноров

Концентрация ионизированных доноров

Концентрация нейтральных акцепторов

NA0 = fA NA

NA – концентрация акцепторов

Концентрация ионизированных акцепторов

NA- = fA- NA

Уровень Ферми и концентрация электронов в невырожденных некомпенсированных полупроводниках n-типа

Выделим области низких температур, где происходит ионизация мелких доноров и высоких температур, где происходит ионизация для атомов основного вещества, так как энергия ионизации доноров DEd << DE (ширина запрещенной зоны полупроводника).

Низкая Т (область примесной проводимости)

Определить F и n.

Из анализа электронных процессов следует, что:

n = Nd+ или n = Pd

Pd – концентрация дырок на уровне Ed

- уравнение электрической нейтральности.

Опредилим F:

Введем:

Решение уравнения:

Значение X(F) зависит от члена ,который может быть >> 1 или << 1.

- для

,

- для

Откуда

При T=0 К уровень Ферми лежит между уровнем ЕС и Еd и с повышением температуры уровень F будет подниматься к уровню ЕС, проходить через максимум при Т = Тmax и затем опускаться.

Это связано с тем, что 2NC становится больше Nd с ростом температуры.

Концентрация электронов:

- концентрация зависит по экспоненте от температуры

- угловой коэффициент

Зависимость определяется энергией ионизации донора -

- n и F для

С ростом температуры и

разложение в ряд

(**) – уровень F удаляется от EC и пересекает уровень Ed в сторону E i

Возникает дырка в валентной зоне или это адекватно переходу e из валентной зоны на уровень Ел

Концентрация нейтральных и ионизированных доноров и акцепторов

Концентрация нейтральных доноров:

N0ddNd= Nd / (1/2e Ed-F/kT+1)

Nd – концентрация доноров

Концентрация ионизированных доноров Nd+ d+Nd= Nd / (2e F-Ed /kT+1)

Концентрация нейтральных акцепторов NA0ANA NA - концентрация акцепторов

Концентрация ионизированных акцепторов NA-A-NA

Уровень Ферми и концентрация eab в невырожденном некомпенсированном п/п n-типа

Выделим области низких температур, где происходит ионизация мелких доноров и высоких температур, где происходит ионизация атомов основных веществ, т к энергия ионизации доноров ΔEd<<ΔE (ширина 33 п/п.

Низкая Т (область примесной проводимости)

Определить F и n

Из анализа электрон. прогрессов следует что n = Nd+ или n=Pd

Pd- конц дырок по урав.Ed(урав электр нейтральности)

Определим F

Nc*e(F-Ec)/kT =Nd/ (2e(F-Ed)/kT +1)

Введем х=eF/kT

Nc*x* eEc/kT = Nd/(2xe-Ed/kT+1)

Nc*x* eEc/kT *2xe-Ed/kT + Nc*x* eEc/kT-Nd=0

Решим уравнение:

X=1/4eEd/kT *(√(1+δNd/Nc*eΔEd/kT )-1)=eF/kT

ΔEd=Ec-Ed

Значение x(F) зависит от члена 8Nd/Nc*eΔEd/kT , который может быть >>1 или <<1

Для 8Nd/Nc*eΔEd/kT>>1:

       
   


0 K T

Обл прилегающая к 0 К низкие

Nc~T3/2, kT<ΔEd

Для 8Nd/Nc*eΔEd/kT<<1:

X=1/4eEd/kT√(8Nd/Nc) eΔEd/kT =eF/kT

Откуда: F=(Ec+Ed)/2+(kT/2)ln(Nd/2Nc)

При Т=0 К уровень Ферми м/у уровнями Ес и Ed и с новым Т-ур F будет понижаться к ур Ec проходить через max при T=Tmax и затем опускаться

Это связано с тем что 2Nc становятся больше Nd с ростом Т.

F

Ошибка: источник перекрестной ссылки не найден

Концентрация электронов:

n=Nc*e(F-Ec)/kT=Nc*e [(Ec+Ed)/2+(kT/2)ln(Nd/2Nc)-Ec]/kT

n=√[(Nd+Nc)/2] eΔEd/2kT – концентрация зависит по экспоненте от Т

Ошибка: источник перекрестной ссылки не найден

n и F для 8Nd/Nc*eΔEd/kT<<1

С ростом Т еΔEd/kT 1 и Nc>>8Nd

X=1/4 еEd/kT(1+(1/2)*8Nd/Nc*еΔEd/kT+…-1) (разложение в ряд)

X=1/4 еEd/kT4Nd/Nc* еΔEd/kT=Nd/Nc*eEc/kT

eF/kT=Nd/Nc* eEc/kT

F=Ec+kTln(Nd/Nc) уравнение F (удал от Ес и пересекает уровень Ed в сторону Ei.

N=Nc(F-Ec)/kT=Nc*e [Ec+kTln(Nd/Nc)-Ec]/kT

n=Nc*Nd/Nc n=Nd (концентрация электронов равна концентрации примеси)

Т. о. примесь полностью ионизирована:

n=Nd+=Nd – если истощена, т.е. не поставляет еы в зоне проводимости.

В некотором интервале Т, концентрация электронов не будет зависеть от Т, пока не начнется ионизация атомов основного вещества. Этот интервал Т – называется областью истощения примеси.

Высокие Т – начинается переход к обл. собств. проводимости, - возрастает концентрация неосновных носителей дырок.

np=ni2

Концентрация электронов n=p+Nd

n=Nd/2(√[1+4ni2/Nd2]+1) где 4ni2/Nd2 может быть <<1 или >>1

для 4ni2/Nd2 <<1; n= 2*Nd/2=Nd

т.е это температуры где 8Nd/Nc*eΔEd/kT<<1 уровень F=Ec+kTln(Nd/Nc)

для 4ni2>>1; n=2ni*Nd/(2*Nd)=ni

n=ni – собственная концентрация, т. е. при этом условии полупроводник находится в область собственной проводимости.

Уровень F: Nc*e(F-Ec)kt=(Nc*Nv)1/2eEg/2kT

Откуда F-Fi=(Ec+Ev)/2+kT/2ln(Nv/Nc), т.е. как в собственном полупроводнике.

Температурная зависимость n и F

F ln n


Тниж Тверх – нижняя и верхняя границы области истощения

Компенсационный полупроводник n-типа

В полупроводник введены доноры(Nd,ΔEd) и акцепторы(NA,ΔEA)

Степень компенсации Na/Nd(Nd>Na)

Электронные процессы

 
 


Часть доноров, равная NA идет на компенсирование акцепторов

Активные доноры – поставщики электронов (Nd-NA)

В области низких температур концентрация электронов равна

N=2(Nd-NA)/[(1+2Na/Nc*eΔEd/kT)+({1+2Na/Nc*eΔEd/kT}2+8{Nd-Na}/Nc* eΔEd/kT)]

При низкой компенсации имеем случай, аналогично некомпенсированному. Полупроводник n-типа.

8(Nd-Na)/Nc* eΔEd/kT>>2Na/Nc*eΔEd/kT

Nd<<Na

n≈Nd и F=Ec+kTln(Nd/Nc)

Случай сильной компенсации:

2Na/Nc* eΔEd/kT >>1 и >>8(Nd-Na)/Nc* eΔEd/kT

n≈[2(Nd-Na)]/[2*2Na/Nc* eΔEd/kT]

n=(Nd-Na)/(2Na)*Nc*e-ΔEd/kT

Уровень Ферми

Nc*e(F-Ec)/kt = (Nd-Na)/2Na*Nc* e-ΔEd/kT

e(F-Ec)/kt = (Nd-Na)/2Na*e-(Ec-Ed)/kt

eF/kT = (Nd-Na)/2Na*eEd/kT

F=Ed+kTln[(Nd-Na)/2Na]

При Т=0 К F=Ed

Температурная зависимость n(T) и F(T)

Ошибка: источник перекрестной ссылки не найден

Вырожденные полупроводники

При сильном легировании примесями(донорами) концентрация электронов в полупроводнике n-типа возрастает и уровень Ферми приближается к уровню Ec, а затем пересекает его и входит в зоне проводимости – начинается вырождение электрон. газом. В полупроводнике p-типа при сильном легировании акцепторами уровня Ферми входит в валентной зоне – начинается вырождение дырочного газа.

Критерии вырождения полупроводника является критическая концентрация NdКрит или NaКрит

Оценим величину Ndкрист для полупроводника n-типа

Из уровня F=Ec

Концентрация электронов в ЗП: n=Nd+

(2Nc/√n)φ1/2(0)=Nd/(1+2e (F-Ed)/kT)

ξ = (F-Ec)/kT=0 F-Ed=ΔEd – энергия ионизации доноров

т о Nd=(2Nc/√n) φ1/2(0)(1+2eΔEd/kT)=Ndкрит

Ndкрит носит оценочный характер, т.к. не учитывалась возможность образования примесной зоны (расщепление дискретного уровня Ed в зону энергии).

При сильном легировании изменяется электронный спектр полупроводника – возникают “хвосты” плотности состояний в запрещенной зоне.

Ошибка: источник перекрестной ссылки не найден

Ширина запрещенной зоны уменьшается: ΔEg*<<ΔEg


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: