double arrow

Линейная корреляция и регрессия

Стохастическая зависимость линейного вида наиболее распространена в эконометрических исследованиях по причине ее четкой экономической интерпретации.

Для количественной оценки характера, т.е. степени и направления линейной корреляционной взаимосвязи между Y и X используется линейный парный коэффициент корреляции, который может быть рассчитан по следующей формуле:

, (1.2)

где – средние значения X и Y.

Интерпретация полученных значений основана на следующих свойствах данного коэффициента.

1. .

2. Чем ближе абсолютное значение к 1, тем больше степень линейной взаимосвязи между Y и Х. Возможные градации значений коэффициента представлены в ниже следующей таблице.

3. Если , то между Y и X нет линейной зависимости, но может существовать нелинейная.

4. Если , то между Y и X существует функциональная зависимость.


Степень линейной зависимости Значение коэффициента Корреляции
Слабая
Заметная
Умеренная
Достаточно сильная
Сильная
Очень сильная и выше

5. При – связь прямая (тенденции изменения показателей одинаковы), при – связь обратная.

6. .

7. Величина не изменится, если значения X и Y увеличить или уменьшить в (на) одно и то же число раз.

После расчетов выдвигается статистическая гипотеза H0: об отсутствии линейной зависимости в генеральной совокупности наблюдений [7]. Для ее проверки определяется расчетное значение t-критерия Стьюдента по следующей формуле:

.

Полученная величина сравнивается с табличной при уровне значимости и числе степеней свободы . Выдвинутая гипотеза не принимается и выводы считаются значимыми, т.е. не зависящими от объема выборки, если расчетное значение критерия не меньше табличного.

Для оценки параметров линейной регрессииприменяются следующие методы.

1. Графический (на основе поля корреляции): выбрав на графике две точки, провести через них прямую (рис.1.).

 
 


Y

 
 


DY

 
 


b DX

 
 


X

Рис.1. Графическая оценка параметров линейной регрессии

Угловой коэффициент определяет тангенс угла наклона прямой к оси Ох, т.е. коэффициент регрессии . Параметр представляет собой точку пересечения линии регрессии с осью Oy.

2. Метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому наилучшим считается уравнение регрессии, соответствующее минимальной величине суммы квадратов отклонений теоретических значений результативного показателя от его фактических значений. Таким образом, критерий оценки параметров (в общем виде и для линейной регрессии соответственно) можно представить следующим образом:

(1.3)

Как известно, экстремального значения функция нескольких переменных достигает в точках, в которых ее частные производные равны нулю. Следовательно, для оценки параметров уравнения регрессии необходимо составить и решить систему уравнений следующего вида (в частности, для линейной регрессии):

(1.4)

После преобразований получаем следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров a и

(1.5)

3.Аналитический: значения параметров определяются по следующим формулам:

, (1.6) (1.7)

где – ковариация признаков;

– дисперсия X.

Формула (1.6) получена из второго уравнения системы (1.5).

Величина коэффициента регрессии оценивает среднее изменение результата при изменении фактора на единицу своего измерения. Если коэффициент положителен, то связь между показателями прямая, если отрицателен – обратная.

Формально , если значение фактора может быть равно нулю. Экономический смысл имеет знак при свободном члене уравнения: если , то относительное изменение результата происходит медленнее, чем относительное изменение фактора, т.е. вариация Y меньше вариации X.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: