Н. Я. Боярчук

Федеральное агентство по образованию

VII. Схема проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции.

VI. Схема проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных СВ.

V. Схема проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных СВ при неизвестных дисперсиях.

IV. Схема проверки гипотезы о равенстве двух нормальных СВ при известных дисперсиях.

II. Схема проверки гипотезы о математическом ожидании нормальной СВ при неизвестной дисперсии.

I. Схема проверки гипотезы о математическом ожидании нормальной СВ при известной дисперсии.

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем ее математическое ожидание неизвестно, а дисперсия известна.

Также есть основания предполагать, что .

Тогда

Для проверки извлекается выборка объема и в качестве критерия строится статистика

(1)

где , .

Доказано, что если гипотеза справедлива, то статистика U имеет стандартизированное нормальное распределение .

1. Пусть в качестве альтернативной рассматривается гипотеза:

. Тогда критические точки и будут определяться по таблице значений функции Лапласа из условия

Если - нет оснований для отклонения .

Если - гипотеза отклоняется в пользу альтернативной гипотезы .

2. При критическую точку правосторонней критической области находят из равенства

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняют в пользу .

2. При критическая точка .

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняют в пользу .

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение, причем ее математическое ожидание и дисперсия неизвестны.

Пусть есть основания утверждать, что . Тогда строятся следующие гипотезы:

.

Для проверки извлекается выборка объема вычисляются выборочное среднее

;

исправленная выборочная дисперсия

;

стандартное отклонение .

Далее строится - статистика:

, (2)

имеющая при справедливости распределение Стьюдента с степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы так же, как и в предыдущем разделе.

1. При по таблице критических точек распределения значимости и числу степеней свободы находятся критические точки:

и .

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняют в пользу .

2. При определяют критическую точку правосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

3. При определяют критическую точку левосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

III. Схема проверки гипотезы о величине дисперсии нормальной СВ.

Принятие того или иного решения в экономике часть связано с анализом возможных результатов, точнее разбросе возможных результатов.

Здесь приходится иметь дело с выдвижением и проверкой гипотез о величине дисперсии.

Пусть случайная величина X ~ N (m, σ²); и неизвестны. Проверяется гипотеза о равенстве дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности предполагаемому значению . Тогда:

.

Для проверки извлекается выборка объема вычисляются выборочное среднее , исправленная выборочная дисперсия .

Тогда критерий проверки имеет вид:

(3)

При справедливости построенная статистика имеет - распределение с степенями свободы.

1. При по таблице критических точек - распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находят критические точки и двусторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения .

Если или - отклоняется в пользу .

2. При определяют критическую точку правосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

3. При находят критическую точку левосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

Пусть X ~ N (m_x, σ_x²) и Y ~ N (m_y, σ_y²), причем их дисперсии и - известны (из предыдущих наблюдений или определены теоретически).

По двум выборкам и объемов и соответственно необходимо проверить гипотезу , т.е.

.

В качестве критерия проверки принимается СВ U:

(4)

При справедливости СВ U ~ N (0, 1).

1. При по таблице функции Лапласа определяют 2 критические точки и из условий:

, .

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

2. При критическую точку правосторонней критической области находят их равенства: .

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

3. При критическая точка левосторонней критической области определяется из соотношения .

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

Пусть и ,причем их дисперсии и неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве математических ожиданий:

;

.

При этих условиях в качестве критерия проверки принимают СВ :

(5)

где - объемы выборок и соответственно ,

; .

При справедливости построенная статистика имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы.

1. При с помощью таблицы критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы определяются критические точки и (=) двусторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения Н₀.

Если - Н₀ отклоняется в пользу Н₁⁽¹⁾_.

2. При находят критическую точку правосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения Н₀.

Если - Н₀ отклоняется в пользу Н₁⁽²⁾_.

3. При находят критическую точку левосторонней критической области .

Если - нет оснований для отклонения Н₀.

Если - Н₀ отклоняется в пользу Н₁⁽³⁾_.

При сравнении двух экономических показателей иногда, в первую очередь, проводят анализ разброса значений рассматриваемых СВ. Например, при решении инвестирования в одну из отраслей остро стоит проблема риска вложений. При сравнивании уровня жизни двух стран среднедушевые доходы могут быть примерно одинаковы. Необходимо сопоставить разброс в доходах.

Анализ проводится путем сравнения дисперсий исследуемых СВ.

Пусть и , причем их дисперсии и неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий и .

.

По независимым выборкам и объемов и соответственно определяется:

и (для определенности пусть , в противном случае эти величины можно переобозначить).

В качестве критерия проверки принимают СВ

, (6)

определяемую отношением большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей.

Если верна, то данная статистика имеет - распределение Фишера с и степенями свободы.

1. При по таблицам критических точек распределения Фишера по уровню значимости и числам степеней свободы и определяется критическая точка .

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

2. При определяется критическая точка .

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу .

В основном, при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в качестве альтернативной гипотезы в большинстве случаев используется гипотеза .

Одним из важнейших элементов эконометрического анализа является установление наличия связи между различными показателями (между ценой и спросом, доходом и потреблением, инфляцией и безработицей).

Обычно анализ начинают с простой линейной зависимости. Для того чтобы установить наличие значимой линейной связи между двумя СВ и , следует проверить гипотезу о статистической значимости коэффициента корреляции. В этом случае используется следующая гипотеза:

.

Для проверки по выборке объема строится статистика:

(7)

где - выборочный коэффициент корреляции.

При справедливости статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяем критическую точку .

Если - то нет оснований для отклонения .

Если - то отклоняется в пользу альтернативной гипотезы .

Если отклоняется, то фактически это означает, что коэффициент корреляции статистически значим (существенно отличен от нуля). Следовательно, и - коррелированны, т.е. между ними существует линейная связь.

Список рекомендуемой литературы:

1. Эконометрика: Учебник / Под редакцией И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002

2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / И.И.Елисеева, С.В.Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002

3. Магнус Я.Р., Катышев Л.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – 4 изд. – М.: Дело, 2000

4. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2 т. – М.: ЮНИТИ, 2001

5. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Инфра-М, 2001

6. Кулинич Е.И. Эконометрия. – М.: Финансы и статистика, 1999

7. Бородич С.А. Эконометрика: Учеб пособие / С.А. Бородич. – Мн.: Новое знание, 2001

8. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Братский государственный университет»