Уравнения с переменными коэффициентами. Характеристики

Рассмотрим 2-х мерное квазилинейное однородное уравнение, котором коэффициенты при производных являются функциям х и у

. (11.11)

Введем новые переменные

и . (11.12)

и новую функцию

(11.13)

Продифференцировав функцию (11.13) по х и у, получим

и (11.14)

Подставив (11.14) в (11.11), получим

Предположим, что коэффициент , тогда получим, что и решение этого уравнения по алгоритму, рассмотренному ранее при решении уравнения (11.4) принимает вид

, (11.15)

но вид переменной ξ нам неизвестен и как, же ее найти? Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(11.16)

Для любого решения x(t), y(t) этой системы функция

F[x(t), y(t)] = const,

Называется общим интегралом этой системы (11.16) и, если F = const, то производная от нее равна нулю или раскрывая эту производную, получим

, (11.17)

Исходя из того, что в системе (11.16) - , то уравнение (11.17) можно записать в виде

(11.18)

Анализируя уравнение (11.18) мы видим, что оно совпадает с исходным уравнением (11.11), следовательно, решениями уравнения (11.11) являются первые интегралы системы (11.16). Записав симметричную форму системы (11.16)

, (11.19)

Эти уравнения называются уравнениями характеристик. Найдем интегралы этой системы. Первый интеграл очевиден

.

Второй интеграл найдем из следующей комбинации

,

интегрируя это уравнение, найдем

.

Таким образом, общий интеграл уравнения (11.11) можно представить в виде

, (11.20)

а общее решение будет выглядеть как

. (17.21)

Интегралы С₁ и С₂ уравнения (11.19) называются характеристиками.

Пример 11.1. Найти общий интеграл и общее решение уравнения

▲ Запишем для этого уравнения систему (11.16)

Далее запишем симметричную форму этой системы

.

Первый интеграл очевиден

.

Второй интеграл найдем из следующей комбинации

,

интегрируя это уравнение, найдем

.

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения можно представить в виде

,

а общее решение будет выглядеть как

.

Аналогичным образом решается уравнение

и его решение имеет вид

.▲

Неоднородные уравнения решаются аналогичным образом.

Пример 11.2. Найти общий интеграл и общее решение уравнения .

▲ Запишем для него систему (11.16)

Далее запишем симметричную форму этой системы

.

Первый интеграл очевиден

.

Второй интеграл найдем из следующей комбинации

,

интегрируя это уравнение, найдем

.

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения можно представить в виде

,

а общее решение будет выглядеть как

. ▲