2014-02-12
869
Рассмотрим 2-х мерное квазилинейное однородное уравнение, котором коэффициенты при производных являются функциям х и у
. (11.11)
Введем новые переменные
и 
. (11.12)
и новую функцию
(11.13)
Продифференцировав функцию (11.13) по х и у, получим
и 
(11.14)
Подставив (11.14) в (11.11), получим
Предположим, что коэффициент 
, тогда получим, что 
и решение этого уравнения по алгоритму, рассмотренному ранее при решении уравнения (11.4) принимает вид
, (11.15)
но вид переменной ξ нам неизвестен и как, же ее найти? Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(11.16)
Для любого решения x (t), y (t) этой системы функция
F [ x (t), y (t)] = const,
Называется общим интегралом этой системы (11.16) и, если F = const, то производная от нее равна нулю 
или раскрывая эту производную, получим
, (11.17)
Исходя из того, что в системе (11.16) - 
, то уравнение (11.17) можно записать в виде
(11.18)
Анализируя уравнение (11.18) мы видим, что оно совпадает с исходным уравнением (11.11), следовательно, решениями уравнения (11.11) являются первые интегралы системы (11.16). Записав симметричную форму системы (11.16)
|
|
|
, (11.19)
Эти уравнения называются уравнениями характеристик. Найдем интегралы этой системы. Первый интеграл очевиден
.
Второй интеграл найдем из следующей комбинации
,
интегрируя это уравнение, найдем
.
Таким образом, общий интеграл уравнения (11.11) можно представить в виде
, (11.20)
а общее решение будет выглядеть как
. (17.21)
Интегралы С 1 и С 2 уравнения (11.19) называются характеристиками.
Пример 11.1. Найти общий интеграл и общее решение уравнения
▲ Запишем для этого уравнения систему (11.16)
Далее запишем симметричную форму этой системы
.
Первый интеграл очевиден
.
Второй интеграл найдем из следующей комбинации
,
интегрируя это уравнение, найдем
.
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения можно представить в виде
,
а общее решение будет выглядеть как
.
Аналогичным образом решается уравнение
и его решение имеет вид
.▲
Неоднородные уравнения решаются аналогичным образом.
Пример 11.2. Найти общий интеграл и общее решение уравнения 
.
▲ Запишем для него систему (11.16)
Далее запишем симметричную форму этой системы
.
Первый интеграл очевиден
.
Второй интеграл найдем из следующей комбинации
,
интегрируя это уравнение, найдем
.
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения можно представить в виде
,
а общее решение будет выглядеть как
. ▲
