Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным s

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией s². Пусть произведено n независимых опытов и на основании статистических данных получено выборочное среднее:

Задаем достаточно высокую доверительную вероятность g. Требуется построить доверительный интервал . Прежде всего, заметим, что случайная величина также имеет нормальное распределение . Действительно,

;

Вероятность попадания случайной величины с нормальным законом распределения в симметричный интервал с центром в точке и радиусом ε равен

где – функция Лапласа.

Обозначая, имеем Ф (t) = g/2. Затем по табл. 4 приложения находим t по значению Ф (t) = g/2; отсюда находится : . Таким образом, доверительный интервал имеет вид

.

Задача. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным s=3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по его выборочному среднему , если известны объем выборки и .

Решение. Имеем

t = , .

Из табл. 4 t = 1,96. Тогда . Таким образом,

.

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания
нормального распределения с неизвестным s

В отличие от предыдущего, случайная величина X имеет нормальное распределение N (a,s) с неизвестным s. Пусть произведено n независимых испытаний, построены выборочная средняя и “исправленная” выборочная дисперсия S ². Требуется построить доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину

.

Распределение является t – распределение или распределением Стьюдента с степенями свободы.

Действительно, по определению, если – случайная величина с нормальным распределением , а V – случайная величина, распределенная по закону c² с k степенями свободы, то случайная величина распределена по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Случайная величина распределена по нормальному закону . Случайная величина

распределена также по нормальному закону (как линейная функция относительно нормального аргумента ) с законом .

Известно, что случайная величина

распределена по закону c² с степенями свободы. Поэтому случайная величина T распределена по закону Стьюдента.

С ростом степеней свободы распределение Стьюдента приближается к нормальному и уже при практически не отличается от него. Следовательно, при оценке неизвестных параметров по выборке малого объема используют распределение Стьюдента При построении доверительного интервала для математического ожидания речь идет о вероятности Имеем

или с учетом

.

Обозначая , получаем .

Таким образом, имеем

.

Значение определяется по вероятности из табл. 5 приложения распределения Стьюдента. Затем, принимая во внимание, что , находим . Таким образом, доверительный интервал для оценки математического ожидания с неизвестным s имеет вид

.

Задача 5.3.2. Случайная величина X имеет нормальное распределение. По выборке объемом n = 15 найдены выборочная средняя , “исправленное” среднее квадратическое отклонение . Определить интервальную оценку математического ожидания с доверительной вероятностью .

Решение. По табл. 5 приложения находим . Тогда . По формуле (5.3.11) получим доверительный интервал

.

Замечание. Пусть производится n независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение которой неизвестно и которая имеет нормальное распределение. Пусть – результаты отдельных измерений, рассматриваемые как независимые случайные величины с одним и тем распределением, и имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии s² (измерения равноточные). В этом случае истинное значение измерений физической величины оценивается с помощью среднего выборочного , для которого можно построить доверительный интервал (с неизвестным s) по методу, указанному в п. 2.

Задача 5.3.3. По данным 16-ти независимых равноточных измерений физической величины найдено выборочное среднее и “исправленное” среднее квадратическое отклонение . Требуется оценить истинное значение случайной величины с надежностью .

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном s) для нормального распределения с помощью доверительного интервала. Доверительный интервал находится с помощью формулы (5.3.11).

Используя табл. 5 приложения по =0,95 и , находим . Имеем

,

.