Точечные оценки

Характеристики генеральной совокупности обычно неизвестны. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной совокупности.

Характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами,а выборочной совокупности — оценками.

Пусть искомый параметр генеральной совокупности есть q₀, а на основе выборки объема n определяется оценка q.

Для того чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять определенным требованиям (несмещенности, эффективности и состоятельности).

Несмещенность оценок. Оценка называется несмещенной,если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. .

Если это не так, то оценка называется смещенной,а разность называется смещением.

Выборочная средняя является несмещенной оценкойгенеральной средней m, так как . Тем не менее оценка не единственная возможная несмещенная оценка m.

Выборочная дисперсия D_X является смещенной оценкойгенеральной дисперсии , при этом

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина (исправленная дисперсия)

Величина S называется стандартным отклонением случайной величины в выборке.

Эффективность оценок. Несмещенная оценка q называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками, т.е. .

Предположим, что имеются две оценки параметра q₀, рассчитанные на основе одной и той же информации (рис. 2). Оценка А является более эффективной, чем оценка В.

Выборочная средняя является эффективной оценкой генеральной средней, т.е. имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.

Состоятельность оценок. Оценка q называется состоятельной,если при n ® ¥ она стремится по вероятности к оцениваемому параметру q₀, т.е.

Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

На рисунке показано, как при различном объеме выборки может выглядеть распределение вероятностей (состоятельная оценка, смещенная на малой выборке).