Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление

Сформулируем принцип оптимальности для динамических задач, представляющихся классическими задачами вариационного исчисления с ограничениями типа равенств и неравенств.

Пусть требуется найти (0) при ограничениях вида:

(1), (2)

(3) в пространстве , где - пространство непрерывных функций; - пространство дифференцируемых функций, - заданный конечный отрезок, ; - функция переменных;

- функция переменных; - функция переменных; - вектор-функция управления; - вектор-функция фазовой переменной; - управляющий процесс в задаче Лагранжа, если , , и всюду на выполнится дифференциальная связь, задаваемая (1); если же при этом выполняются ограничения (2), (3), то четверка - допустимый управляющий процесс.

Теорема Эйлера- Лагранжа Пусть - оптимальный (в слабом смысле) процесс и при этом функции и их частные производные по и непрерывны в некоторой окрестности множества , а , непрерывно дифференцируемы в окрестности точки . Тогда найдутся множители Лагранжа и не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа выполнены условия: а) стационарности по , ; б) трансверсальности по , , , ;

в) стационарности по , ; г) стационарности по (для незакрепленных и ), ; д) не отрицательности (только при наличии ограничений неравенств) ; е) дополняющей нежесткости (только при наличии ограничений неравенств)

Замечание. 1)допустимый управляемый процесс называется оптимальным (в слабом смысле) процессом, или слабым минимумом в задаче (0), если существует такое , что для любого допустимого управляемого процесса , удовлетворяющего условию , выполнено неравенство .

2) - арифметическое n-мерное пространство, сопряженное к , - терминант.

30. Необходимые условия в задаче теории оптимального управления

В случае выбора решений в динамических задачах оптимального управления в пространстве , когда , т.е. в задачах вида

, , ,

где

( - пространство кусочно-непрерывных функций; - пространство кусочно-дифференцируемых функций; - произвольное множество из ; - раскрываются такие, как в задаче Лагранжа п.15.2), принцип оптимальности формируется как принцип максимума Понтрягина.

Теорема 1 (Необходимое условие экстремума) Пусть - оптимальный процесс в задаче оптимального управления, функции и их частные производные по непрерывности во множестве , где - некоторая окрестность множества , а непрерывно дифференцируемы в окрестности точки . Тогда найдутся множители Лагранжа , не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа выполнены условия:

а) стационарности по - уравнения Эйлера,

, б) трансверсальности по , , ,для терминантов на и ; в) оптимальности по ; г) стационарности по (только для незакрепленных , ) ; д) дополняющей нежесткости (при наличии ограничений неравенств) ; е) неотрицательности (при наличии ограничений неравенств) .

Здесь - арифметическое n-мерное пространство, сопряженное к , - терминант.

31. Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления

Задачу теории оптимального управления назовем простейшей, если для нее начальный и конечный моменты времени фиксированы, левый конец закреплен, правый – свободен, фазовые ограничения отсутствуют, а ограничение на вектора управляющих параметров стационарны, т. е. Из (1)-(4) (п. 14.1) получаем следующую краткую запись для простейшей задачи оптимального управления:

дано: , (1)

- непрерывно дифференцируема по совокупности своих параметров. Пусть - оптимальное управление и оптимальная траектория в задаче (1). Если - вектор сопряженных переменных, то т. к. Сопряженная система дифференцируемых уравнений, отвечающая паре имеет вид , то если решение сопряженной системы дифференциальных уравнений, отвечающей этой паре при граничных условиях и , (2) то .

Теорема 1. (Принцип максимума Понтрягина ) В любой момент времени имеет место равенство . ()

Практическое применение задачи Т.1 осуществляется следующим образом для поиска решения задачи управления. Выражение для , в котором полагают , рассматривается как функция переменных , а остальные переменные при этом считаются параметрами. Для каждого фиксированного набора решается задача математического программирования . Решением ее будет . Таким образом . В ряде случаев функцию можно выписать в явном виде. Если построена, то можно рассмотреть следующую систему из дифференциальных уравнений относительно : , (3), где . Для определения произвольных постоянных имеется граничных условий на левом конце: -, и на правом: . (4)

Опр.1 Пара удовлетворяет условиям принципа максимума, если , а - решение системы (3) при граничных условиях (4) и .

Пары, удовлетворяющие условиям принципа максимума назовем стационарными.

Рассмотрим пример применения принципа максимума Понтрягина при решении простейшей задачи теории оптимального управления:

Пример1

Функция Гамильтона-Понтрягина (с учетом ) имеет вид: . Вектор-функция из условия .

Основная и сопряженная система дифференциальных уравнений:

.

Интегрируя их совместно, получаем:

(5)

Из граничных условий:

, которые в силу (5) принимают вид: , откуда ,

Для доказательства теоремы 1 дополнительно положим, что и непрерывно дифференцируемы по и константа , для которой справедливы неравенства: ,

, (6)

.

Пусть - кусочно-непрерывная функция, для которой: . Полагаем .

Сформулируем ряд утверждений, которые используются в доказательстве Т.1.

Лемма 1. Имеет место равенство: , (7), где (8), .

Лемма 2. Имеет место равенство:

, (9), где .

Лемма 3. Справедлива оценка: .

Доказательство теоремы 1:

Пусть , , и столь мало, что .

Функцию определим формулой:

(10)

Очевидно, что кусочно-непрерывная функция и для всех выполнено включение . Таким образом, для управления и движения в соответствии с леммой 1 справедлива оценка (7), (8), которая в силу (10) имеет вид: (11), где

(12)

При достаточно малых функция непрерывна на , поэтому

, (13)

Из оптимальности пары следует неравенство . Тогда в силу (11) - (13) заключаем: (14)

Поделив обе части неравенства (14) на положительное и устремив к нулю получаем . Из определения выводим: (15)

В силу произвольности из неравенства (15) следует справедливость условия (2) для всех . Чтобы доказать его для надо взять в виде:

и провести аналогичные рассуждения. Теорема 1 доказана.

Рассмотрим случай простейшей задачи с нефиксированной продолжительностью процесса: ,

Если рассмотреть вспомогательную задачу с фиксированной продолжительностью процесса, то если - решение основной задачи, то будет решением вспомогательной задачи при условии . Но по Т.1 для пары будет выполняться условие принципа максимума Понтрягина при . Однако условий принципа максимума недостаточно для выделения изолированных пар , среди которых только и могло бы находиться решение исходной задачи с нефиксированной длительностью процесса. Это объясняется тем, что помимо (2) и произвольных констант интегрирования в общем решении системы дифференциальных уравнений (3) определению подлежит еще и момент . Дополнительные условия, которым удовлетворяет определяются следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть - оптимальный конечный момент времени в простейшей задаче оптимального управления с нефиксированной длительностью процесса. Тогда

.