Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ееаргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождениепервообразной — интегрирование.
Геометрический и физический смысл производной[править | править вики-текст]
Тангенс угла наклона касательной прямой [править | править вики-текст]
Геометрический смысл производной. Награфике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
|
|
Основная статья: Касательная прямая
Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией
Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Скорость изменения функции [править | править вики-текст]
Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени
Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью