Функция распределения вероятностей и ее свойства

Опр1: ФР назыв.ф-ция F(x) равное вероятности того, что СВ Х примет значение меньшее х; F(x)=P(X<x)

ФР явл.аналитическим способом задания закона распределения как дискретных, так и непрерывных Св, теперь можно дать более точное определение НСВ: СВ назыв.непрерывной, если её ф-ция распредел.непрерывна и кусочно дифференцируема.

Св-ва ФР:

1)Значение ФР принадлежит отрезку (0;1); св-во следует из определения ФР. F(x)=P(X<x)

2)ФР неубывающая ф-ция: F(x2)≥F(x1), при х1>x2.

Док-во: Пусть x2>x1. Рассмотрим событие x<x1, которое явл.суммой несовместимых событий x<x1 u x1≤x≤x2, x<x2

По теореме сложения имеем, что P(x<x2)=P(x<x1)+P(x1≤x≤x2)

F(x2)=F(x1) P(x1≤x≤x2) |=> F(x2)-F(x1)= P(x1≤x≤x2)≥0 |=> F(x2)≥F(x1).

Следствие1: Вероятность того, что СВ примет значение в интервале (α;β) равна приращению ФР на этом интервале.

Следствие2: вероятность того, что НСВ примет одно определенное значение равна нулю.

3)Если возможные значения СВ принадлежат (α;β), то

1. F(x)=0 при x≤α

2. F(x)=1 при х≥β

Док-во:

1) пусть x₁≤α. Событие x<x1 невозможно, т.к по условию СВ Х значений меньше α не принимает, тогда P(x<x1)=F(x1)=0 при x1≤α

2) пуcть x2> β/ Cобытие чБч2 достоверно, т.т все возм.меньше х2. Тогда Р(x<x1)=F(x2)=1 ghb x2>β

Cледствие: Если -∞<x<∞, то имеют место предельные соотношения lim(x→∞) F(x)=0; lim(x→∞) F(x)=1

Пример. Реш-е: 1) х≤1 F(x)=0 P(-1)=P(x<-1)=0

2) -1<x<2 F(2)=0.2 P(2)=H(x<2)=0.2

2<x<3 F(x)=0.2+0.1=0.3 P(3)=P(x<3)=0.2+0.1=0.3