Пример 8

Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) j₁ = 90⁰; 2) j₂ = 3⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано Решение

:

а = 0,1 м ^а

I = 100 Ф I

B = 1 Тл

j₁ = 90⁰

j₂ = 3^{0 a} _I j

А₁, А₂ -?

Рис.8

Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил (рис.8)

М = r_mBsinj.

где r_m – магнитный момент контура; В – магнитная индукция; j - угол между вектором , направленным по нормали к контуру, и вектором .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (М = 0), а значит, j = 0, т.е. векторы и совпадают по направлению. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Mdj. Подставив сюда выражения М по формуле (1), и учтя, что P_m = IS = Ia², где I – сила тока в контуре; S = a² – площадь контура, получим dA = IBa²sinjdj. Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

. (2)

Работа при повороте на угол j₁=90⁰

(3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ: I = 100 A, B = 1 Тл, a = 10 см=0,1 м и подставим в (3):

А = 100^.1^.(0,1)² = 1 Дж.

Работа при повороте на угол j₂ = 3⁰. В этом случае, учитывая, что угол j₂ мал, заменим в выражении (2) sin j» j:

Выразим угол j₂ в радианах. После подстановки числовых значений величин в (4) найдем

А₂ = ^.1^.(0,1)^2.(0,0523)² Дж = 1,37^.10^-3 Дж = 1,37 мДж.

Проверка размерности:

[A]= А^.Тл^.м² = .

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура равна произведению силы тока на изменение магнитного потока через контур: А=IDФ=(Ф₁–Ф₂), где Ф _{1 –} магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф₂ - то же после перемещения.

Если j₁= 90⁰, то Ф₁ = ВS, Ф₂ = 0 _. Следовательно, A=IBS=IBa², что совпадает с полученным выше результатом (3).