Числовая последовательность, предел числовой последовательности, геометрический смысл предела

Если к каждому натур числу n поставлено соответствие числу Xn, то говорят, что задана числовая последовательность. Числовая последовательность имеет бесконечное число членов

Число а наз пределом числовой последовательности Xn,если для любого полож сколь угодно малого числа Е(элипса) найдется такой номер N зависящее от Е, что для всех членов последовательности у которого номер n>N будет выполняться неравенство IXn-aI<E

Последовательность, имеющая конечные пределы, наз.сходящей, в противном случае расходящейся

геометрический смысл предела в Е-окрестность точки а попадает все члены последовательности с номерами n>M–бесконечное число. За пределами Е-окрестности находится конечное число 1-х членов Х1,Х2…ХN за пределами maе-окрестности Xn+1,Xn+2...€(a-E:a+E)

Док-ть:что некоторое число есть предел заданной числовой последовательности значит для любого полож(малого) указать начиная с какого номера все члены послед попадают в Е-окрестность числа

Например:

7) Определение предела функции в бесконечности, предел функции в точке, геометрический смысл предела, односторонние пределы

Число а наз.пределом ф-ииY=F(X) при Х →∞, если для любого даже сколь угодно малого числа Е>0 найдется такое полож число S>0 (зависящее от Е, S=S(E)), что для всех Х,таких что IXI>S верно неравенство IF(X)-AI<E

Геометрический смысл предела в∞: число А есть предел ф-ииY=F(X) при Х→∞,, если для любого E>0найдется такое числоS>0, что для всех Х таких, что IXI>Sсоответствующие ординаты графика ф-ииF(X) Будут заключены в полосе A-E<y<A+E,какой бы узкой она не была

Число А наз.пределом ф-ииF(X) при Х→Х0 (или в точке Х0), если для любого E>0 найдется б>0 такое,что для всех Х для которых 0<IX-XI<б справедливо неравенство F(X)→A при Х→Х0

Геометрический смысл предела в точке число А есть предел ф-цииF(X) при Х→Х0, если для любого Е>0 найдется такое б-окрестность точки Х0, что для всех Х≠Х0, из этой окрестности соответствующие ординаты графика ф-ииF(X) будут заключены в полосе A-E<Y<A+E

Односторонние пределы Если при стремлении Х и Х0 переменная Х принимает лишь значения меньше Х0 или наоборот, лишь значения больше Х0 и при этом ф-я F(X) стремится к некоторому числу А,то говорят об односторонних пределах ф-цииF(X) соответственно слева и справа

8.Беск-но малые величины.
Определение:ф а(х) наз-ся б.м величиной при х ->х0 или при х ->к беск. Если ее предел= 0
Связь предела с б.м. Теорема:если ф. f(x) имеет при х->х0 (х-к беск) предел, равный А, то ее можно представить в виде суммы этого числа А и б.м а(х) при х – х0 (х- к беск)

Св-св б.м-х
1) алгебраическая сумма конечного числа б.м-х величин есть величина б.м. т.е а(х) в(х) г(х) – б.м величины, то их сумма или разность тоже бесконечно мала.
2) Произведение бм величины на ограниченную ф-ю в том числе на постоянную и на другую бм есть величина б.м
3) Частные от деления бм величины на ф-ю, предел которой отличен от нуля, есть величина б.м.

9. б.б величины.Определение. ф-я ф(х) наз. Б.б величиной при х-х0, если для любого даже сколь угодно большого положительного числа М найдется такое положит число б (завис. От Мб=б(М),что длявсех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию /х-х0/<б будет верно неравенство /f(x)/>M
Св-св б.б.
1)произв. б.б ф-ю предел которой отличен от 0 есть б.б
2)Сумма б.б и огран.ф есть б.б
3)частное от деления б.б на ф. имеющую предел есть б.б

Связь между бм и бб
Теорема.если ф. а(х) есть бм величина при х-хо (х-к беск) то ф f(x) = 1/а(х) явл-ся б.б при х – хо(х-к беск).
Обратно: если ф фот х б.б при х-хо то ф аотх= есть величина бм при х-хо