Построение кубического сплайна

3.

Последнее условие называется условием интерполирования, а сплайн, определяемый условиями 1)-3), называется также интерполяционным кубическим сплайном.

Докажем существование и единственность сплайна, определяемого перечисленными условиями. Приведенное ниже доказательство содержит также способ построения сплайна.

В промежутке между парой соседних узлов интерполяционная функция является многочленом 3-ей степени, который удобно записать в виде:

Коэффициенты многочлена определяют из условий в узлах. Он должен принимать табличные значения:

(1)

Число уравнений в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов, поэтому для замыкания нужны дополнительные условия. Найдем первую и вторую производные от кубического многочлена:

(2)

Потребуем непрерывности этих производных (т. е. гладкости гибкой линейки) во всех точках, включая узлы. Приравнивая во внутреннем узле х_i правые и левые пределы производных получаем:

3)

Недостающие два условия обычно получают из естественного предположения о нулевой кривизне графика на концах:

, (4)

что соответствует свободно опущенным концам линейки. Но если есть дополнительные сведения об асимптотике функции, то можно записать другие краевые условия.

Уравнения (1-4) образуют систему линейных уравнений для определения 4N неизвестных коэффициентов. Эту систему можно решить методом исключения Гаусса, но выгоднее привести ее к специальному виду.

Уравнение (1) дает сразу все коэффициенты а_i. Из уравнений (3) и (4)

(5)

Подставим (5) в (1), одновременно исключая а _i= f _i-1, получим:

(6)

Исключая теперь из (3) b _i и b _i+1 по (6) и d_i по (5), получаем систему уравнений для с_i:

Матрица этой системы 3-х диагональная. Такие системы экономно решаются методом прогонки.

В силу диагонального преобладания система имеет единственное решение.

После нахождения с_i определяются a_i, b_i и d_i и определяется вид кубических многочленов (сплайнов) на каждом отрезке.

Таким образом, доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями 1)-3) и граничными условиями

Заметим, что можно рассматривать и другие граничные условия.

Можно рассмотреть и более общую задачу интерполяции функции сплайном – многочленом n-ой степени

,

коэффициенты которого кусочно - постоянны, и который в узлах принимает заданные значения и непрерывен вместе со своими (n-1) производными.

На практике наиболее употребительны 2 случая: один при n=3 (кубические многочлены) уже рассмотрен, второй при n-1 (многочлены Ньютона 1-ой степени) соответствует аппроксимации графика ломаной, построенной по узлам; определение коэффициентов при этом очевидно.

ЛЕКЦИЯ №14

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ПРОСТЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

Общая формула прямоугольников

1. Квадратурная формула левых прямоугольников.

Пусть

2. Формула правых прямоугольников

3. Квадратурная формула средних прямоугольников

Расчет погрешности формул численного интегрирования.

Пусть

Пусть h>0 достаточно мало, x₀=0.

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности x₀=0.:

Тогда

Локальная погрешность для малого отрезка h -

, то есть

Свойство аддитивности

- погрешность на отрезке [a,b].

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Если многочлен n - степени, то

Это квадратурные формулы интерполяционного типа. Здесь С_к – коэффициенты Котеса

Безразмерные формулы.

Тогда

Итак

Квадратурные формулы интерполяционного типа выглядят следующим образом:

Свойства коэффициентов Котеса

Важные частные случаи n=1, n=2

1. Квадратурная формула трапеций (n=1)

или, используя запись интерполяционного многочлена в форме Ньютона, получим:

Остаточный член для

2. Квадратурная формула Симпсона (формула парабол) (n=2)

или, используя запись интерполяционного многочлена в форме Ньютона, получим:

Итак

- формула Симпсона на отрезке

Остаточный член для

3. Частные формулы Ньютона - Котеса, n=k, n=3,4,5 …

Общая формула интерполяционного типа имеет вид:

k
	1/2
	1/3
	3/8
	2/45

Составные квадратурные формулы.

1. Общая формула трапеций.

2. Составная формула Симпсона