Геометрические свойства векторного произведения

1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях (рис. 1.42,6).

2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда множители коллинеарны, т.е.

, в частности, .

Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: , или , или . В каждом из этих случаев векторы и коллинеарны (см. разд. 1.1).

Пример 1.19. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах , где , угол между векторами и равен (рис. 1.44).

Решение. Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение

а затем его модуль.

По первому геометрическому свойству векторного произведения искомая площадь параллелограмма равна , а площадь треугольника в 2 раза меньше: .