2015-02-27
727
Пусть функция 
задана на отрезке 
. Разобьем отрезок 
на 
произвольных частей точками:
Выберем в каждом из частичных отрезков 
некоторую точку 
:
, и положим 
, где 
 |
Теперь образуем сумму произведений: 
которую будем называть интегральной суммой для функции на отрезке 
Рис.1
Геометрический смысл интегральной суммы 
- это сумма площадей прямоугольников с основаниями 
и высотами 
(
).
Обозначим через 
длину максимального частичного отрезка данного разбиения:
.
Конечный предел 
интегральной суммы при 
, если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка , называется определенным интегралом от функции на отрезке :
Определенный интеграл обозначается символом
. (1)
Числа 
называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, 
- переменной интегрирования.
Функция 
называется интегрируемой на отрезке , если существует определенный интеграл (2).
Справедливы следующие теоремы.
Теорема. Если функция 
непрерывна на отрезке , то она интегрируем на нем.
Теорема. Если определенная и ограниченная на отрезке функция имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
