Примеры решения задач. Задача 1. Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии 0,5 м один от другого

Задача 1. Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии 0,5 м один от другого. Величина одного заряда вдвое больше другого заряда. На прямой, соединяющей эти заряды, находится третий заряд. Определить, на каком от большего заряда находится третий заряд, если система находится в равновесии?

Дано: r = 0,5 м; q₂= 2q₁.

x -?

Решение:

F₂ F₁

x q₁ q₃ q₂

r – x x r

Рис. 8

На заряд q₃ действуют силы: F₁ и F₂ – электрические силы взаимодействия с зарядами q₁ и q₂ соответственно. Запишем условия равновесия в скалярной форме относительно оси Х: F₁ – F₂ = 0, откуда F₁ = F₂. Учитывая, что

;

где х – расстояние между зарядами q₂ и q₃. Получаем

или

; откуда х = 1,4(r – x); 2,4x = 1,4r.

. Ответ: х = 0,3 м.

Задача 2. Бесконечная вертикальная плоскость заряжена с поверхностной плотностью, равной 10мкКл/м². К плоскости на шелковой нити подвешен шарик массой 1,5 г. Определить заряд шарика, если нить образует угол 30^ос плоскостью.

Дано:

=10мкКл/м²= 10^-5 Кл/м²; m = 1,5г = 1,5^.10^{-3 кг;}

= 30^о.

q -?

Решение:

Т F_к х

mg Рис. 9

На заряженный шарик, подвешенный на нити, в электрическом поле действуют: F – электрическая сила, с которой поле плоскости действует на заряженный шарик, mg – сила тяжести, Т – сила натяжения нити. Запишем условия равновесия шарика относительно осей х и у: Ось х F - Tsin

= 0; (1) Ось у -mg + Tcos

= 0. (2) Решая (1) и (2) получим F = mg tg

. (3) Учитывая, что F=Eq, a

, получим

. Ответ: q = 15,5 нКл.

Задача 3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами 2^.10^-7 Кл и -2^.10^-7 Кл. Расстояние между зарядами 50 см. Определить напряженность электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии 40 см от первого заряда и на расстоянии 30 см от второго заряда.

Дано: q₁ = 2^.10^-7 Kл; q₂ = -2^.10^-7 Kл; r = 50 cм = 0,5 м; r₁ = 40 см = 0,4 м; r₂ = 30 см = 0,3 м;

Е -?

E₁

Решение:

r₁E₂

q₁ q₂

_{Рис. 10}

Согласно принципу суперпозиции напряженность Е равна – векторной сумме напряженностей

₁ и

₂, т.е.

Е = Е₁ + Е₂. (1) По теореме косинусов

, (2) где

, (3)

. (4) cos

найдем

; следовательно,

= 90⁰. Уравнение (2) примет вид:

. (5) Подставим численные значения:

. Ответ: Е = 2,3^.10⁴ В/м. Задача 4.Точечный заряд Q=25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R=1 cм, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ=2·10³ нКл/м². Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r=10 см.

Дано: Q=25 нКл=25·10^-9 Кл R=1 cм=0,01 м σ=2·10³ нКл/м²= =2·10^-6 Кл/м² r = 10 cм = 0,1 м;

F -?

E₁

Решение:

Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле,

, (1)

где Е напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

, (2) где τ – линейная плотность заряда. Выразим линейную плотность τ через поверхностную плотность σ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящейся на нем заряд Q₁ двумя способами:

. (3) Приравняв правые части этих неравенств, получим

. После сокращения на l найдем

. С учетом этого формула (2) примет вид

. Подставив это выражение в формулу (1), найдем искомую силу:

. (4) Подставим значения и найдем искомую силу

. Ответ:

Задача 5.Воздушный конденсатор с зарядом на обкладках q₁ площадью обкладок S и расстоянием между ними d погружают в жидкость с диэлектрической проницаемостью E₂ на

его объема. Найти напряжение на обкладках конденсатора после погружения.

Дано: q; d; E₁; E₂; V₂=

V₁.

U -?

Решение: с₁

E₁ с₂

E₂ Рис. 12 Рис. 13

Конденсатор, частично погруженный в жидкость, можно представить в виде двух параллельно соединенных конденсаторов с одинаковым расстоянием между обкладками d, одинаковым напряжением на них U, но с разными диэлектрическими проницаемостями E₁ и E₂ и разными площадями обкладок:

, где

, поэтому

. Общая емкость этой батареи с = с₁ + с₂, где

, поэтому

(1) Суммарный заряд на батарее из этих двух конденсаторов остался таким же, каким был до погружения:

, откуда

. (2) Подставив (1) в (2)

. Ответ:

Задача 6. Металлический шар радиусом R=3см несет заряд Q=20 нКл. Шар окружен слоем парафина толщиной d=2 см. Определить энергию W электрического поля, заключенного в слое диэлектрика.

Дано: R=3см=3·10^-2м Q=20 нКл= =20·10^-9 Кл d=2 см=2·10^-2м

Решение: Так поле, созданное заряженным шаром, является неоднородным, то энергия поля в слое диэлектрика распределена неравномерно. Однако Объемная плотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на равных расстояниях от центра сферы, так как поле заряженного шара обладает сферической симметрией.

Выразим энергию в элементарном сферическом слое диэлектрика объемом dV

, (1) где ω – объемная плотность энергии. Полная энергия выразится интегралом

, (2) где r – радиус элементарного сферического слоя; dr – его толщина. Объемная плотность энергии определяется по формуле

, где Е - напряженность поля, в нашем случае

и, следовательно,

. (3) Подставив это выражение плотности в формулу (2) и вынеся за знак интеграла постоянные величины, получим

Подставляя значения в формулу найдем

. Ответ:

Задача 7. Амперметр сопротивлением 0,1 Ом имеет шкалу до 4 А. Какое сопротивление должно быть у шунта, чтобы увеличить предел измерения амперметра до 24 А?

Дано: R₁ = 0,1 Ом; I₁ = 4 A; I₂ = 24 A. R_ш -?	Решение: I_ш I₂ I₁ A Рис. 14
Ток в неразветвленной части цепи I₂ = I₁ + I_ш, но так как шунт и амперметр соединены параллельно, то U = IR₁ = I_шR_ш. , т.е. I₂ = I₁ + ; отсюда ; Ом. Ответ: R_ш = 0,02 Ом.

Задача 8. Вольтметр сопротивлением 200 Ом имеет шкалу до 60 В. Какое дополнительное сопротивление нужно подключить к вольтметру, чтобы увеличить предел измерения вольтметра до 300 В?

Дано: R₁ = 200 Ом; U₁ = 60 В; U₂ = 300 В. R -?	Решение: R V Рис. 15
При последовательном соединении напряжение на концах участка U₂ = U₁ + U_R, так как ток во всех участках цепи одинаков, то или , ; отсюда . Ом = 800 Ом. Ответ: R = 800 Ом.

Задача 9. Как изменится температура медного провода, если по нему в течение 5 с проходит ток плотностью 9 А/мм² и 25 % тепловой энергии отдается окружающим телам?

Дано: t = 0,5 с;

²= 9 А/мм² = 9^.10⁶ А/м;

= 0,75

Т -?

Решение: Запишем выражение для КПД

, (1) Q_п – количество теплоты, затраченное на нагревание проводника.

Q_п = m c

T, учитывая, что m =

V, a V = l S, получим Q_п =

l S c

T, (2)

= 8900 кг/м³ – плотность меди; с = 380 Дж/(кг^. К) – удельная теплоемкость меди; Q_з – количество теплоты, которое выделится при прохождении электрического тока по проводнику. По закону Джоуля - Ленца Q_з = I²Rt, учитывая, что I = jS, a R =

, получим Q_з = j²

t = j²S

l t, (3)

= 1,7^.10^-8 Ом ^. м – удельное сопротивление меди. Подставляем (2) и (3) в (1)

. Ответ:

Т = 1,5 К.

Задача 10. Батарея элементов состоит из параллельно соединенных источников тока с ЭДС 5,5 В и внутренним сопротивлением каждого источника

5 Ом. При силе тока во внешней части цепи 2 А полезная мощность (т.е. мощность тока во внешней части цепи) равна 7 Вт. Сколько источников тока содержит батарея?

Дано: Е = 5,5 В; r = 5 Ом; I = 2 А; Р = 7 Вт. n -?	Решение: Закон Ома для n параллельно соединенных источников тока с одинаковыми ЭДС и внутренними сопротивлениями: . (1) - внешнее сопротивление. (2)
Подставляем (1) в (2) получим . . Ответ: n = 5.

Задача 11. Сколько электроэнергии надо затратить для выделения в процессе электролиза 1 л кислорода при температуре 27 ^ОС и давлении 10⁵ Па, если электролиз ведется при напряжении 10 В и КПД процесса 75 %?

Дано: V=1л = 10^{-3 м3}; Т=27 ^ОС+ 273 ^ОС=300 К; U = 10 В; Р=10⁵ Па; = 0,75; К=0,083^.10^-6 кг/Кл; =32^.10^-3 кг/моль. А₃ -?	Решение: Запишем формулу КПД , (1) где А_П = IUt – работа, совершаемая эл. током. (2) Силу тока выразим из закона Фарадея для электролиза m = Kit; . (3)
Подставим (3) в (2) . (4) Массу кислорода найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона ; . (5) Подставим (5) в (4) . (6) Подставим (6) в (1) получим , отсюда . . Ответ: А_З=2^.10⁵ Дж.

Задача 12. Термопара, сопротивление которой 6 Ом, позволяет определить минимальное изменение температуры t_мин = 0,006 ⁰С. Найти сопротивление гальванометра, подключенного к термопаре. Постоянная термопары

Дано:

Ом;

t_мин = 0,006 ⁰С;

I₂

Решение:

Электродвижущая сила , возникающая в термопаре при разности температур ее спаев, вычисляется по формуле

(1)

С другой стороны, согласно закону Ома

(2)

где

- сила тока в цепи термопары;

- полное сопротивление цепи;

- сопротивление гальванометра. Приравнивая правые части (1) и (2), получим

откуда

(3) Но

где

- число делений, на которое отклонилась стрелка гальванометра при силе тока

. Подставив указанные выражения

в (3) и сократив на

, получим

(4) Выпишем числовые значения в СИ и подставим их в (4):

Ом;

Ом = 14 Ом. Ответ:

= 14 Ом.

Задача 13. По двум длинным прямолинейным и параллельным проводам, расстояние между которыми 4 см, в противоположных направлениях текут токи , Найти магнитную индукцию поля в точке , которая находится на расстоянии 2 см от первого провода на продолжении линии, соединяющей провода.

Дано:

;

Решение:

I₂

I₁

Рис. 16

На рисунке провода расположены перпендикулярно к плоскости чертежа. Маленькими кружочками изображены сечения проводов. Условимся, что ток

течет к нам, а ток

- от нас. Общая индукция

в точке

равна векторной (геометрической) сумме индукции

полей, создаваемых каждым током в отдельности, т.е.

(1) Для того чтобы найти направление векторов

, проведем через точку

силовые линии магнитных полей, созданных токами

. Силовые линии магнитного поля прямого провода с током представляют собой концентрические окружности с центром на оси провода. Направление силовой линии совпадает с движением концов рукоятки правого буравчика, ввинчиваемого по направлению тока (правило буравчика). Поэтому силовая линия магнитного поля тока

, проходящая через точку

, представляет собой окружность радиусом

а силовая линия магнитного поля тока

, проходящая через эту же точку, - окружность радиусом

(на рис. 6 показана только часть этой окружности). По правилу буравчика находим, что силовая линия магнитного поля тока

направлена против часовой стрелки, а тока

- по часовой стрелке. Теперь легко найти направление векторов

в точке

: каждый из них направлен по касательной к соответствующей силовой линии в этой точке. Так как векторы

направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить алгебраическим равенством

(2) Индукция магнитного поля тока

, текущего по прямому бесконечно длинному проводу, вычисляется по формуле

(3) где

- магнитная постоянная;

- магнитная проницаемость среды, в которой провод расположен;

- расстояние от провода до точки, в которой определяется индукция. Подставив значения

в равенство (2), получим

или

(4) Выразим числовые значения в СИ и подставим их в (4):

Ответ:

Задача 14. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 5 мТл по окружности. Найти период его обращения. Масса электрона 9,1^.10^{-31 кг, модуль его заряда 1,6.}10^-19 Кл.

Дано: В = 5 мТл = 5^.10^-3 Тл; m = 9,1^.10^{-31 кг;} е = 1,6^.10^-19 Кл. Т -?	Решение: На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца , (1) где = 90⁰ и sin 90 = 1. По второму закону Ньютона эта сила F = m ,
где - центростремительное ускорение, тогда . (2) Приравниваем правые части (1) и (2) . Учитывая, что . , отсюда . с = 7^.10^-9 с. Ответ: Т = 7 нс.

Задача 15. В однородное магнитное поле индукцией 10^-4 Тл влетает -частица со скоростью 2^.10³ м/с под углом 30⁰ к направлению вектора индукции. Определить радиус витков траектории -частицы и расстояние, пройденное ею вдоль силовых линий поля за три витка.

Дано: В = 10^-4 Тл;

= 600 м/с;

= 30⁰; т = 6,7^.10^{-27 кг;} q = 3,2^.10^-19 К.

R -? S -?

Решение:

- частица в магнитном поле будет перемещаться по винтовой линии.

у S

_x х

Рис. 17

Из формулы силы Лоренца

(1) видно, что ее величина зависит от значения составляющей скорости, направленной перпендикулярно вектору В:

. (2) Вторая составляющая скорости, направленная вдоль силовой линии, определяет скорость перемещения

- частицы вдоль поля:

. (3)

Радиус витков траектории

- частицы найдем, решая систему уравнений:

получим,

Величина нормального ускорения а будет определяться составляющей скорости _y:

, отсюда

. (4)

Величину перемещения - частицы вдоль силовой линии за три витка найдем из формулы:

. (5)

Период вращения - частицы

. (6)

Подставляя в формулу (5) выражения (6), (2) и (3) получаем значение перемещения - частицы вдоль силовой линии:

; .

Ответ: R = 0,21 м, S = 6,8 м.

Задача 16. В однородном магнитном поле находится плоский виток радиусом 0,05 м, расположенный перпендикулярно к линиям поля. Какой ток потечет по витку, если индукция магнитного поля за время 0,2 с равномерно изменяется от 0,1 Тл до 0,2 Тл? Сопротивление витка 0,5 Ом.

Дано: r = 0,05 м; t = 0,2 c; B₁ = 0,1 Тл; B₂ = 0,2 Тл; R = 0,5 Ом. I -?	Решение: Искомая сила тока , где С – э.д.с. индукции, . Приращение магнитного потока равно . Площадь контура .
. . Знак минус означает, что магнитное поле индукционного тока противоположно внешнему магнитному полю. Ответ: I = -7,9^.10^{-3 м.}

Задача 17. На немагнитный каркас длиной 50 см и площадью сечения 3 см² намотан в один слой провод диаметром 0,4 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Найти индуктивность получившегося соленоида и магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение соленоида при токе 1 А.

Дано: l = 50 см; S = 3 см²; d = 0,4 мм; I = 1 A.

L -? Ф_м -?

Решение: Индуктивность соленоида вычисляется по формуле

, (1) где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; V – объем соленоида. Число витков n получим, разделив единицу длины на диаметр провода d:

(2) Объем соленоида V = S l, где S – площадь поперечного сечения соленоида, l – длина соленоида. Подставим выражения для n и V в равенство (1):

, где

= 4

Гн/м,

= 1.

. При наличии тока в соленоиде любое его поперечное сечение пронизывает магнитный поток Ф_м = BS, (3) где В – магнитная индукция в соленоиде. Магнитная индукция соленоида определяется по формуле:

. (4) Подставив выражения (2) и (4) в (3), получим расчетную формулу

Ответ: L

1,18 мГн, Ф_м = 0,942 мкВб.

Задача 18. Ток, текущий в рамке, содержащей витков, создает магнитное поле. В центре рамки индукции поля Найти магнитный момент рамки, если ее радиус

Дано:

Решение: Магнитный момент рамки с током

(1) где

- сила тока в витке;

- площадь, охватываемая витком

;

- число витков в рамке. Индукция магнитного поля в центре кругового тока (многовиткового)

откуда

Подставляя в (1) выражения для

, получим

(2) Выпишем числовые значения величин в СИ и подставим их в расчетную формулу (2):

Ответ:

Задача 19. Плоская рамка площадью 100 см², содержащая 20 витков тонкого провода, вращается в однородном магнитном поле с индукцией 100 мТл. Амплитуда э. д. с. индукции . Определить частоту вращения рамки.