Задачи для самостоятельного решения. 1. Ток I течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного n-уголь-ника, вписанного в окружность радиусом R

1. Ток I течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного n-уголь-ника, вписанного в окружность радиусом R. Найти выражение для магнитной индукции в центре данного контура и исследовать его при n®¥. Вычислить величину индукции при I=2 А, R=5 см и n=6.

2. Найти магнитную индукцию в центре контура, имеющего вид прямоугольника, если его диагональ d=16 см, угол между диагоналями j=30^о и ток в контуре I=5,0 А.

3. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в контуре, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре квадрата.

4. Найти магнитную индукцию в т.О контура с током

I=5.0 А (рис. 1.12, а-в):

а) -a=20 см, b=40 см, j=90^о,

б) -a=20 см, b=40 см,

в) -a=60 см (равносторонний треугольник, О - точка пересечения высот).

5. Определить магнитную индукцию в т.О, если радиус изогнутой части проводника с током I=0,8 А равен R=5 см; прямолинейные участки проводника предполагаются очень длинными (рис. 1.13, а-в).

6. На тороид малого поперечного сечения намотано равномерно N=2,5×10³ витков провода, по которому течет ток. Найти отношение h магнитной индукции внутри тороида к магнитной индукции в центре тороида.

7. Два круговых витка расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают. Радиус каждого витка R=2 см, токи в витках I₁=5 А и I₂=10 А. Найти магнитную индукцию в центре витков.

8. Найти магнитную индукцию в т.О, если проводник с током I=8 А имеет вид, показанный на рис. 1.14, а-в. Радиус изогнутой части проводника R=100 мм.

9. Найти магнитную индукцию в т. О, если проводник с током I=10 А имеет вид, показанный на рис. 1.15, а-в. Радиус изогнутой части проводника R=0,2 м, прямолинейные участки проводника очень длинные.

10. Две плоские катушки R=5 см каждая расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d=10 см друг от друга. Число витков каждой катушки N=20, по ним протекают токи I₁=I₂=2 А. Найти:

а) распределение магнитной индукции вдоль оси системы (между катушками) и построить график В(х), х меняется от 0 до 10 см с шагом 2 см;

б) значение силы тока в катушках, при котором в центре системы будет скомпенсирована горизонтальная составляющая магнитного поля Земли, равная 2×10^-5Тл.

11. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом. По проводникам текут токи I₁=80 А и I₂=60 А. Расстояние между проводниками d=20 см. Чему равна магнитная индукция (рис. 1.16):

а) в точке А;

б) в точке B;

с) в точке C.

12. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам текут токи I₁=100 А и I₂=50 А в противоположных направлениях. Расстояние между проводниками d=20 см. Определить магнитную индукцию (рис. 1.17):

а) в точке А; б) в точке В; с) в точке С.

13. Длинный проводник с током I=5,0 А изогнут под прямым углом. Найти:

а) магнитную индукцию в точке, которая отстоит от плоскости проводника на h=35 см и находится на перпендикуляре к проводникам, проходящем через точку изгиба;

б) магнитную индукцию в точке, лежащей на биссектрисе угла и отстоящей от вершины на l =14 см (внутри угла);

в) магнитную индукцию в точке, лежащей на биссектрисе угла и отстоящей от вершины на l =14 см (вне угла).

14. На рис. 1.18 изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояния АВ=ВС=5 см, токи I₁=I₂=10 А и I₃=20 А. Найти:

а) точку на прямой АС, в которой магнитная индукция поля, созданного токами I₁, I₂, I₃, равна нулю;

б) точку на прямой АС, в которой магнитная индукция поля, созданного токами, равна нулю, если токи текут в одном направлении.

15. Ток I=6,28 А течет по длинному проводнику, сечение которого имеет форму тонкого полукольца радиусом R=20 см (рис. 1.19). Найти величину и направление магнитной индукции в точке О.

16. Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из N=100 плотно расположенных витков, по которым течет ток

I=8 мА. Радиусы внутреннего и внешнего витков равны a=50 мм b=100 мм. Найти:

а) магнитную индукцию в центре спирали; б) магнитный момент спирали.

17. Тонкая лента шириной l =40 см свернута в трубку радиусом R=30 см. По ленте течет равномерно распределенный по ширине ленты ток I=200 А. Определить магнитную индукцию поля на оси трубки:

а) в средней точке; б) на расстоянии 10 см от средней точки; в) на расстоянии

20 см от средней точки.

18. Постоянный ток протекает по длинному прямому проводнику круглого сечения. Радиус провода R=5 мм. Плотность тока в проводе изменяется по закону j=j_o×(r/R), j_o=1×10⁶A/м². Найти индукцию магнитного поля этого тока как функцию расстояния от оси провода, построить график В(r). Вычислить магнитную индукцию:

а) на расстоянии r=R/2;

б) на расстоянии r=2R.

19. По тонкому стержню длиной l =20 см равномерно распределен заряд

q=2,4×10^-7 Кл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью w=10 с^-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей на расстоянии 10 см от его ближайшего конца (вне стержня). Определить:

а) магнитную индукцию на оси в плоскости вращения;

б) магнитный момент, обусловленный вращением стержня.

20. Однородный ток плотности j течет внутри неограниченной пластины толщиной 2d параллельно ее поверхности. Найти магнитную индукцию как функцию расстояния x от средней плоскости пластины. Магнитная проницаемость всюду равна единице. Построить график В=f(x).

21. Постоянный ток течет по длинному прямому проводнику круглого сечения. Радиус провода R=5 мм. Плотность тока изменяется по сечению проводника по закону j=j_o(1-r/R), j_o=2×10⁶А/м². Найти поток вектора магнитной индукции через одну из половин осевого сечения в расчете на один метр его длины.

22. По проводнику в виде тонкостенной трубы радиусом R течет параллельно оси трубы ток силой I. Найти магнитную индукцию как функцию расстояния r от оси трубы (внутри трубы и вне нее). Магнитная проницаемость всюду равна единице. Построить график B=f(r).

23. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I=50 А, расположена прямоугольная рамка, так что две ее большие стороны длиной l =65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

24. Тороид квадратного сечения содержит N=1000 витков. Наружный диаметр тороида D=40 см, внутренний d=20 см. Найти магнитный поток в тороиде, если сила тока, протекающего по обмотке, I=10 А.

25. Найти магнитный поток через поперечное сечение тороида, если ток в обмотке I=1,7 А, полное число витков N=1000. Отношение внешнего диаметра к внутреннему h=1,6 и толщина h=5 см. Сердечник тороида прямоугольного сечения, магнитная проницаемость m=20.

26. Ток I=10 А течет вдоль длинной тонкостенной трубы радиуса R=2 см, имеющей по всей длине продольную прорезь шириной b=2 мм. Найти магнитную индукцию:

а) внутри трубы;

б) в точке А на расстоянии d=2R (рис. 1.20).

27. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного по бесконечной плоскости с линейной плотностью .

28. Постоянный ток течет по длинному прямому проводнику круглого сечения. Радиус провода R=5 мм. Плотность тока изменяется по сечению проводника по закону j=j_or/R, j_o=2×10⁶А/м². Найти поток вектора магнитной индукции через одну из половин осевого сечения в расчете на один метр его длины.

29. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного по двум бесконечным параллельным плоскостям с линейными плотностями и .

30. Длинный равномерно заряженный по объему цилиндр радиусом R=10 см приведен во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью w=200 с^-1. Объемная плотность заряда r=10^-4 Кл/м³. Найти магнитную индукцию на оси цилиндра. Магнитную проницаемость всюду считать равной единице.

31. По длинному прямому проводнику в виде полой толстостенной трубки течет ток I=80 А. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R₁=1 см и R₂=2см. Найти индукцию магнитного поля этого тока как функцию расстояния r от оси проводника. Магнитную проницаемость всюду считать равной единице. Построить график В(r) для 0£ r £5 см.

32. Внутри длинного однородного прямого провода круглого сечения имеется круглая длинная цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние . По проводу течет постоянный ток плотности . Найти индукцию магнитного поля внутри полости.

33. По объему однородного шара массы m и радиуса R равномерно распределен заряд q. Шар приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найти возникающий в результате вращения магнитный момент р_m.

34. По прямому проводнику (рис. 1.21) в виде тонкой ленты шириной h=10 см течет ток I=32 А. Найти величину и направление индукции магнитного поля:

а) в точке А (а=5 см);

б) в точке В (а=5 см);

в) в точке С (а=5 см).

35. Постоянный ток протекает по длинному прямому проводнику круглого сечения. Радиус провода R=5 мм. Плотность тока в проводе изменяется по закону j=j_o×(1-r/R), j_o=1×10⁶A/м². Найти индукцию магнитного поля этого тока как функцию расстояния от оси провода, построить график В(r). Вычислить магнитную индукцию:

а) на расстоянии r=R/2;

б) на расстоянии r=2R.

36. Длинный прямой медный провод радиусом R=5 мм расположен по оси железной толстостенной трубы. Внутренний и внешний радиусы равны R₁=10 мм и R₂=15 мм соответственно. По медному проводу течет ток силой I=80 А. Найти магнитную индукцию как функцию расстояния r от оси системы. Построить график В=f(r).

37. Через центр железного кольца перпендикулярно его плоскости проходит длинный прямой провод, по которому течет ток I=25 А. Кольцо прямоугольного сечения с внутренним радиусом R₁=18 мм, внешним R₂=22 мм и толщиной h=5 мм. Считая приближенно, что в любой точке сечения кольца индукция одинакова и равна индукции на средней линии кольца, найти магнитный поток Ф, пронизывающий площадь сечения кольца.

38. Через центр железного кольца перпендикулярно его плоскости проходит длинный прямой провод, по которому течет ток I=25 А. Кольцо прямоугольного сечения с внутренним радиусом R₁=16 мм, внешним R₂=24 мм и толщиной h=5 мм. Считая приближенно, что в любой точке сечения кольца магнитная проницаемость одинакова и соответствует значению напряженности на средней линии кольца, найти магнитный поток Ф, пронизывающий площадь сечения кольца.

39. Замкнутый железный сердечник длиной L=50 см имеет обмотку из N=1000 витков. По обмотке течет ток I₁=1 А. Какой ток I₂ надо пропустить через обмотку, чтобы при удалении сердечника индукция внутри обмотки осталась прежней?

40. Сколько ампер-витков потребуется для создания магнитного потока Ф=0,42 мВб в соленоиде с железным сердечником длиной l =120 см и площадью поперечного сечения S=3 см²?

41. Длина железного сердечника тороида l ₁=2,5 м, длина поперечного воздушного зазора l ₂=1 см. Число витков в обмотке тороида N=1000. При токе I=20 А индукция магнитного поля в зазоре B=1,6 Тл. Найти магнитную проницаемость железного сердечника при этих условиях. (Зависимость В от Н для железа неизвестна.)

42. Найти магнитную индукцию В в замкнутом железном сердечнике тороида длиной l =20,9 см, если число ампер-витков обмотки тороида IN=1500 А×в. Какова магнитная проницаемость m материала сердечника при этих условиях?

43. Железное кольцо диаметром D=11,4 см имеет обмотку из N=200 витков, по которой течет ток I₁=15 А. Какой ток I₂ должен проходить по обмотке, чтобы индукция в сердечнике осталась прежней, если в кольце сделать зазор шириной b=1 мм? Найти магнитную проницаемость материала сердечника при этих условиях.

44. Магнитная индукция в вакууме вблизи плоской границы магнетика равна В, и вектор составляет угол J с нормалью к поверхности (рис. 1.22). Магнитная проницаемость магнетика равна m. Найти:

а) поток вектора через поверхность сферы S радиусом R, центр которой лежит на поверхности магнетика (рис. 1.22, а);

б) циркуляцию вектора по квадратному контуру Г со стороной l (рис. 1.22, б);

в) определить величину и направление вектора в магнетике.

Вычислить все величины для следующих значений: В=0,01 Тл, J=60^о, m=10, R=10 см, l =10 см.

45. Постоянный магнит (железо) имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца d=20 см. Ширина зазора b=2,0 мм. Магнитная индукция в зазоре B=40 мТл. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти:

а) модуль вектора напряженности магнитного поля внутри магнита,

б) модуль вектора намагниченности .

46. На железном сердечнике в виде тора со средним радиусом сердечника R=250 мм имеется обмотка с общим числом витков N=1000. В сердечнике сделана прорезь шириной b=1,0 мм. При токе I=0,85 А через обмотку магнитная индукция в зазоре B=0,75 Тл. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти:

а) напряженность магнитного поля в сердечнике;

б) величину вектора намагниченности в сердечнике;

в) магнитную проницаемость железа в этих условиях.

47. Тонкое железное кольцо со средним диаметром d=50 см несет на себе обмотку из N=800 витков с током I=3,0 А. В кольце имеется поперечная прорезь шириной b=2,0 мм. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти с помощью графика магнитную проницаемость железа в этих условиях.

48. Железный сердечник длиной l ₁=50,2 см с поперечным воздушным зазором шириной l ₂=0,1 см имеет обмотку из N=20 витков. Какой ток I должен протекать по этой обмотке, чтобы в зазоре получить магнитную индукцию B=1,2 Тл?

49. Между полюсами электромагнита требуется создать магнитное поле с индукцией В=1,4 Тл. Длина железного сердечника l ₁=40 см, длина межполюсного пространства l ₂=1 см, диаметр сердечника D=5 см. Какое напряжение нужно подать на обмотку электромагнита, чтобы получить требуемое магнитное поле, используя медную проволоку площадью поперечного сечения S=1 мм²? Какая при этом будет наименьшая толщина b намотки, если считать, что предельно допустимая плотность тока j=3 МА/м²?

50. Тороид с железным сердечником, длина которого по средней линии l =1м, имеет воздушный поперечный зазор шириной l ₂. По обмотке тороида, содержащей N=1300 витков, пустили ток I=2 A, в результате чего индукция в зазоре В₂ стала равна 1 Тл. Определить ширину зазора l ₂.

51. Внутри соленоида длиной l =25,1 см и диаметром D=2 см помещён железный сердечник. Соленоид имеет N=200 витков. Определить магнитный поток Ф, если ток в соленоиде I=5 А.

52. Тороид намотан на железное кольцо сечением S=5 см². При силе тока I=1 А магнитный поток через поперечное сечение кольца Ф=250 мкВб. Определить число витков тороида, приходящихся на отрезок длиной 1 см средней линии кольца.

53. Внутри соленоида с числом витков N=200 с никелевым сердечником (m=200) напряженность однородного магнитного поля H=10 кA/м. Площадь поперечного сечения сердечника S=10 см². Определить: 1) магнитную индукцию поля внутри соленоида; 2) потокосцепление.

54. Тороид с железным сердечником, длина которого по средней линии l =1 м, имеет воздушный зазор l ₂=3 мм. По обмотке тороида, содержащей N=1300 витков, пустили ток, в результате чего индукция в зазоре В₂ стала равна 1 Тл. Определить силу тока.

55. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности однородного изотропного магнетика равна В, причем вектор магнитной индукции составляет угол a с нормалью к поверхности. Магнитная проницаемость магнетика равна m. Найти модуль вектора индукции В^¢ магнитного поля в магнетике вблизи поверхности.

56. Прямой бесконечно длинный проводник с током лежит в плоскости раздела двух непроводящих сред с магнитными проницаемостями m₁ и m₂. Найти модуль магнитной индукции во всем пространстве в зависимости от расстояния r от провода. Иметь в виду, что линии вектора магнитной индукции являются окружностями с центром на оси проводника.

57. Тороидальный сердечник составлен из двух половинок, сделанных из различных ферромагнитных материалов с магнитными проницаемостями m₁ и m₂ (рис. 1.23). Общая длина сердечников, включая два зазора размером l каждый, равна L. По об мотке сердечника, имеющей N витков, течет ток I. Определить магнитную индукцию в зазоре.

58. Требуется построить электромагнит, который создает в зазоре магнитное поле с индукцией В=1 Тл. Длина железного сердечника l =140 см, ширина воздушного зазора d=1 см, диаметр сердечника D=6 см. Какое наименьшее число витков N должна иметь обмотка, если используется медный провод площадью сечения S=1мм², по которому можно пропустить ток, не превышающий I=3 А? Определить напряжение U, которое нужно подать на обмотку для получения максимального поля. Принять магнитную проницаемость железа m=10³.

59. Замкнутый тороид с железным сердечником имеет N=400 витков из тонкого провода, намотанных в один слой. Средний диаметр тороида d=25 см. Определить напряженность и индукцию магнитного поля внутри тороида, магнитную проницаемость m железа, а также намагниченность J при значениях силы тока в обмотке I₁=0,5 А и I₂=5 А.

60. Обмотка тороида, имеющего стальной сердечник с вакуумным поперечным зазором длиной l =3 мм, содержит n=1000 вит./м. Средний диаметр тороида d=30 см. При какой силе тока I в обмотке магнитная индукция в зазоре равна 1 Тл?

61. Постоянный магнит имеет форму тонкого диска, намагниченного вдоль его оси. Радиус диска R=1,0 см, толщина h=1 мм. Оценить значение молекулярного тока I', текущего по ободу диска, и намагниченность J материала диска (считая ее однородной), если магнитная индукция на оси диска в точке, отстоящей на х=10 см от его центра, составляет В=30 мкТл.

62. В установке (рис. 1.24) измеряют с помощью весов силу, с которой парамагнитный шарик объема V=41 мм³ притягивается к полюсу электромагнита М. Индукция магнитного поля на оси полюсного наконечника зависит от высоты х как В=В_оexp(-ax²), где В_о=1,50 Тл, а=100 м^-2. Найти магнитную восприимчивость парамагнетика, если максимальная сила притяжения F_макс=160 мкН. Считать намагниченность сферического образца однородной.

63. Тороидальный чугунный сердечник со средним диаметром d=50 см несет на себе обмотку из N=800 витков. В сердечнике имеется поперечная прорезь шириной b=2,0 мм. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти силу тока в обмотке, при которой магнитная индукция в зазоре В=1 Тл. Определить сечение медного провода обмотки, учитывая, что предельная плотность тока j_пред =5 А/мм².