Простейшие свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности:

(1)

2) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

(2)

Оба свойства доказываются аналогично. Равенства (1) и (2) следует понимать в том смысле, что левая и правая их части отличаются на постоянные слагаемые.

Докажем, например, (2). Продифференцируем его:

Т.е. левая и правая части равенства (2) являются первообразными для одной и той же функции.

Свойство доказано.

3) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал от неопределенного интеграла - подынтегральному выражению:

4) Неопределенный интеграл инвариантен относительно замены переменной х любой дифференцируемой функцией, т.е. если , то

Если записать последнюю формулу подробнее, то получим:

Докажем справедливость этого равенства дифференцированием левой и правой частей:

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.

I. Если то

Действительно, дифференцируя левую и правую части этого равенства, получим:

Производные от правой и левой частей равны.

II. Если то

III. Если то

Эти равенства доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.

Итак, свойства неопределенного интеграла будут использованы в различных методах его вычисления.

Таблица основных формул интегрирования

Из определений первообразной и неопределенного интеграла, а также таблицы производных вытекает таблица основных интегралов, которую целесообразно записывать, используя свойства инвариантности неопределенного интеграла, для переменной интегрирования u, которая является некоторой дифференцируемой функцией от х.