Предел функции

Будем рассматривать общий случай: векторную функцию векторного аргумента: или .

Существует два определения предела функции:

-по Гейне (на языке последовательностей);

-по Коши (на языке «ε-δ»-окрестностей).

Определение предела функции по Гейне:

Пусть и - предельная точка множества . Вектор называется пределом функции при , если для любой последовательности , , соответствующая последовательность значений функции всякий раз сходится к .

Для предела используют обозначение: .

Определение сохраняет смысл для числовой функции, если , и для числовой функции числового аргумента, когда .

Определив предел функции через предел последовательности, мы можем использовать все теоремы, касающиеся предела последовательности.

Пример 1. Покажем, что . Для любой последовательности , по теореме об арифметических свойствах предела последовательности имеем:

Определением предела функции по Гейне очень удобно пользоваться при доказательстве отсутствия предела функции.

Чтобы доказать, что , достаточно указать хотя бы одну последовательность , и такую, что .

Пример 2. Докажем, что . Пусть , . Тогда

.

Если же потребуется доказать, что не существует, то необходимо выбрать две различные последовательности , , , и такие, что .

Пример 3.Покажем, что не существует .

Выберем и из условий:

,

При этом .

Пример 4. Покажем, что функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке .

Пусть - произвольно, а , , тогда , -последовательность иррациональных чисел, , тогда . Таким образом, .