double arrow

Определение предела функции по Коши


Пусть и - предельная точка множества . Вектор называется пределом функции при , если для любой окрестности вектора существует такая проколотая окрестность точки , что как только , тотчас .

Используя понятие окрестности, данное определение может быть сформулировано в следующем виде:

Вектор называется пределом функции при , если для такое, что для тотчас выполняется .

Пример 5.Доказать, что .

Согласно определению оценим разность . Получим, используя неравенство для : , что , откуда . Таким образом, для такое, что для .

Отметим, что и в рассмотренном примере, и во многих других мы не решаем неравенство , т.е. не находим множество тех и только тех значений , для которых оно имеет место. Наша цель – установить такую окрестность точки , в которой неравенство заведомо выполняется.

Пример 6. Доказать, что .

Оценим разность . Имеем: . Множитель не является ограниченным на множестве , поэтому здесь необходимо выделить некоторую окрестность точки 2, в которой и проводить дальнейшие оценки, например, 1-окрестность, т.е. интервал (1,3). Для имеем , следовательно, . Так как - окрестность не должна выходить за пределы 1-окрестности, то положим , тогда из неравенства будет следовать .

Пример 7. Доказать, что .

Требуется для указать такое число , что для любого будет выполнено , следовательно . В силу монотонности функции на интервале получим: .

Итак, для , что .

Пример 8. Доказать, что .

Требуется для указать такое, что при .

Из последнего неравенства находим:

, откуда получаем .

Запишем на языке « » утверждение «вектор не является пределом функции при »:

такое, что , но .

Пример 9. Покажем, что .

Рассмотрим разность

Используя неравенство , получим:

как только для любого .

Итак, , что при , но при этом .

Пример 10.Доказать, что не существует .

Пусть - произвольное вещественное число.

, если .

Тогда, для ,

(за счёт выбора соответствующего целого числа ), но тем не менее . Следовательно, для .

Пусть теперь .

, если , В этом случае, , , и , что . Итак, .

Доказаны важные теоремы:

1. Определения Гейне и Коши эквивалентны.

2. Если существует предел , то этот предел единственный.

Отметим важный факт: в определениях предела по Гейне и Коши не требуется, чтобы функция была бы определена в точке , поэтому ни значение , если , ни неопределённость не влияют на существование и величину .

Для числовой функции числового аргумента и векторной функции числового аргумента введём понятие одностороннего предела функции в данной точке .

Определение Гейне:

Пусть и - предельная точка множества . Вектор называется пределом функции при справа (слева), если для любой последовательности , , соответствующая последовательность значений функции всякий раз сходится к .

Определение Коши:

Пусть и - предельная точка множества . Вектор называется пределом функции при справа (слева), если для такое, что для справедливо неравенство .

Для обозначения левого и правого пределов используют следующую символику:

, , если , и , , если .

Теорема:

Функция имеет предел в точке тогда, и только тогда, когда существуют предел слева и предел справа и они равны: .

Пример 11. Доказать, что , если .

При неравенство справедливо для любого , если , поэтому для в качестве подойдёт любое положительное число. Если же , то логарифмируя неравенство, получим: , откуда . Таким образом, для такое, что для имеет место: , т.е. .

Рассмотрим неравенство: . Логарифмируя, имеем: , откуда . Следовательно, для , такое, что для любого : тотчас выполняется: , т.е. .

Приведённые выше примеры показывают, что, пользуясь только определением предела, мы можем лишь проверить, является ли данное число пределом данной функции или нет, но не имеем конструктивного метода вычисления предела.


Сейчас читают про: