Методы разложения функции в степенные ряды

Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тейлора, можно получить разложения новых функций в степенные ряды. Так; например, интегрируя фомулу геометрической прогрессии:

В пределах от 0 до х ( <1) равномерно сходится на отрезке с концами в точке 0 и х при <1, получаем известную формулу (§5,формула 20.18, Лекция 20):

Раньше эта формула была доказана на полуинтервале , а теперь только для интервала (-1,1). Однако, в силу второй теоремы Абеля о степенных рядах из справедливости формулы:

На интервале (-1,1) сразу следует ее справедливости и при х=1. В результате дифференцирования или интегрирования заданного степенного ряда иногда удается получить ряд, сумма котрого уже известна: это позволяет вычислить и сумму исходного степенного ряда.

Пример 21.1. Найти разложение функции arcsin x в ряд Тейлора

Заметим, что (arcsin x)’ =

Разложим (arcsin x)’ в ряд по формуле разложения степени бинома:

(21.7)

Радиус сходимости получившегося ряда равен единице, интегрируя ряд (21.7) от 0 до х, <1.получим

Пример 21.2. Разложим функцию arctg x в степенной ряд и с помощью него найдем числовой ряд, сумма которого равна .

Поступая при <1 аналогично примеру 1, имеем:

(21.8)

Заметим, что полученный ряд при х=±1, поэтому согласно второй теореме Абеля для степенных рядов, сумма ряда являясь непрерывной функцией на отрезке , и совпадает с arctg x на интервале (-1,1). Совпадает с ним и в концевых точках х=±1. Иначе говоря, разложение справедливо для отрезка .

Взяв в этом разложении х=1, и заметив, что arctg 1= , получим:

Полученный ряд называется рядом Лейбница

Пример 21.3. Найдем сумму ряда

(21.9)

Радиус сходимости этого ряда равен 1. Согласно признаку Даламбера:

,

Следовательно, ряд сходится абсолютно при <1 и при >1 расходится.

Из (21.9) следует, что:

<1

Проинтегрируем этот ряд почтенно от 0 до х, <1

И затем продифференцируем получившееся тождество:

В результате получаем:

<1

Пример 21.4. При разложении рациональных функций в ряд Тейлора удобно использовать их разложение на элементарные дроби. Поясним этот метод на примере. Найдем разложение функции:

ƒ

В ряд Тейлора в окрестностях точек =0, = и = 4.

Разложив функцию ƒ(z) на элементарные дроби, получим:

Найдем сначала ряд Тейлора в окрестности =0.

Для этого заметим, что дроби:

Со знаменателями z, при условии, что <1 и соответственно, что <1. Таким образом,

, <1

Рассмотрим точку = . Для получения ряда Тейлора функции ƒ в окрестности точки = снова воспользуемся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, но проделаем это иначе, выделяя в знаменателе элементарные дроби, на которые разложена дробь ƒ , члены = .

Эта выкладка справедлива при условии, что 2 <1, то есть если < . Радиус сходимости получившегося ряда равен .

Рассмотрим точку =4. Имеем:

Все это справедливо, когда <1, то есть при <2. Отсюда, как и выше, следует, что радиус сходимости получившегося ряда равен 2.

Пример 21.5. Найдем сумму ряда

(21.10)

в области его сходимости. При <1 этот ряд сходится абсолютно, ибо

При >1 он расходится, так как его общий член не стремится к нулю, при х=1 он сходится по признику Лейбница, при х=-1 расходится, что например,следует, согласно интегральному признаку сходимости видов из сходимости интеграла

Заметим, что

И преобразуем ряд (21.10) следующим образом:

(21.11)

выполняется неравенство

Поэтому, если <1, то по признаку Вейерштрасса ряд

(21.12)

Равномерно сходится (по t) на отрезке , следовательно, его можно почленно интегрировать.

Его можно почленно интегрировать и при х=1, хотя в этом случае ряд не сходится равномерно на отрезке , так как он даже расходится при t=1. Возможность почленного дифференцирования ряда (21.12) при х=1 можно проверить, например, непосредственно

Итак, (-1,+1) имеем:

Если 0<х<1

= Если х=0

Если -1<х<0