Сложные проценты

Наращивание сложными процентами

Вопрос сложных процентов является ключевым в инвестиционном анализе. Схема сложных процентов предусматривает их капитализацию. Это значит, что база, с которой происходит начисление, постепенно возрастает, т.е. начисление идет не только на первоначальную сумму, но и на полученные ранее проценты. В основе теории сложных процентов, лежит принцип разумного инвестора. Смысл, которого заключается в том, что деньги должны постоянно работать, т.е. на сумму начисленных процентов, должны вновь начисляться проценты, при этом частота начисления может быть разной (раз в год, раз в полгода и т.д.) (рис.2).

Ежегодное начисление Полугодовое начисление Непрерывное начисление

процентов процентов процентов

1 2 3 года

Рис.2 Схема начисления сложных процентов

Формула для расчета сложных процентов при наращивании имеет вид:

FV = PV (1+r)ⁿ

Для удобства пользования используют мультиплицирующий множитель, значения которого табулированы для различных значений n и r.

С учетом использования табулированного множителя формула наращивания сложными процентами принимает вид:

FV = PV* FM1(r,n),

где FM1(r,n)- мультиплицирующий множитель для единичного платежа, он равен (1+r)ⁿ

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет (1,5 года или 2,5 года). В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:

· По схеме сложных процентов:

FV = PV (1+ r) ^{w + f},

где w целое число лет,

f дробная часть года.

· По смешанной схеме:

FV = PV (1+ r) ^w (1+ fr)

При капитализации сложными процентами могут предусматриваться плавающие процентные ставки, т.е. ставка в течение срока финансового соглашения меняется. Например, для первых трех лет ставка установлена 28%, на следующий год устанавливается маржа в размере 1%, и на последующие годы маржа равна 1,5%. Такая плавающая ставка является, прежде всего, инструментом банковского маркетинга, т.к. банк заинтересован в долгосрочных кредитах. В таких случаях наращенная сумма находится по формуле:

FV = PV S(1+ r) ⁿ

На практике капитализация процентов часто происходит несколько раз в году: по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно. При такой схеме наращенная сумма находится по формуле:

FV = PV (1+ r / m)^mn

где n число лет,

m количество начислений в год.

Чем чаще начисляются проценты, тем больше наращенная сумма. Поэтому для инвестора всегда выгоднее устанавливать ставку со значением m как можно больше.

Дисконтирование сложными процентами

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, исходят из того, является ли это вложение более прибыльным, чем вложения в государственные ценные бумаги. Используя несложные методы, пытаются проанализировать будущие доходы.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений с позиции текущего момента. Базовая расчетная формула для такого анализа следующая:

PV = FV / (1 + r)ⁿ или PV = FV*FM2(r, n)

где FV – доход, планируемый к получению в n-м году

FM2(r, n) = 1/ (1 + r)ⁿ

Экономический смысл мультиплицирующего множителя заключается в том, что прогнозируемая величина FV с позиции текущего момента будет меньше из-за влияния фактора времени. Поэтому фактор (FM2) для нулевого года равен 1, для всех последующих он меньше 1, что свидетельствует о том, что сегодняшние деньги всегда дороже, чем завтрашние (инфляция, риск неполучение, меньшая ликвидность).

Используя эту формулу, можно приводить к сопоставимому виду оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. Коэффициент дисконтирования численно равен процентной ставке устанавливаемой инвестором, т.е. тому размеру дохода, который инвестор хочет получить на инвестируемый им капитал.

Определяя коэффициент дисконтирования, исходят из так называемого безопасного или гарантированного уровня доходности финансовых инвестиций. За который принимается доход по вкладам в государственных банках.

Если начисление процентов осуществляется несколько раз в год, то приведенная стоимость находится по формуле:

PV = FV / (1+ r/m)^mn

Аннуитеты

Один из основных элементов инвестиционного анализа является оценка денежных потоков, генерируемых в течение ряда лет в результате реализации того или иного ИП.

Для простоты и точности инвестиционного анализа предполагаются следующие допущения: - *элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттока и притока денежных средств,

- *притоки не распределяются внутри периода, а сконцентрированы на одной его границы (денежные средства поступают либо в начале, либо в конце определенного периода, например месяца).

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, в котором длительность всех периодов равна между собой. Исторически вначале рассматривались ежегодные денежные поступления (период равен одному году), что и послужило основой его названия "аннуитет" (год по латыни анну). В дальнейшем в качестве периода стал выступать любой промежуток времени при сохранении прежнего названия. Аннуитет еще называют финансовой рентой или просто рентой. Тут опять исторические корни. Изначально аннуитет – ежемесячные арендные платежи.

С точки зрения ИА аннуитет – это денежный поток, который удовлетворяет следующим требованиям:

1. все члены денежного потока – положительные величины (только приток?);

2. временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны;

3. все элементы денежного потока равны друг другу или растут линейно.*

Любое денежное поступление называют членом аннуитета, а величина постоянного временного интервала между двумя поступлениями денежных средств называется периодом аннуитета.

Интервал времени от начала первого периода аннуитета до конца последнего называется сроком аннуитета.

Аннуитеты классифицируются:

1. дискретные (период ренты более одного дня) и непрерывные (ежедневный поток платежей)

2. постоянные (все члены ренты равны, при подписании четко указывается, что каждый платеж будет равен, например 1000 р.), переменные (но изменяются линейно?)*

3. верные и условные. Первые имеют заранее определенное число членов (например, платежи по кредиту). Вторые, характеризуются тем, что число выплат заранее неизвестно, например, выплата пенсии прекращается в связи со смертью пенсионера.

4. срочные (ограниченные) и бессрочные (бесконечные). Срочный – это денежный поток с равными поступлениями в течение определенного промежутка времени, например, лизинговый платеж сроком на 2 года или аренда производственной площади сроком на один год. Аннуитет называется бессрочным, если денежный поток продолжается достаточно длительное время, в западной практике 50 лет и более.

5. пренумерандо и постнумерандо. Если денежные средства поступают в начале периода, аннуитет называется пренумерандо или авансовый аннуитет, если платежи поступают в конце периода, то это поток постнумерандо.

C₁ C₂ C₃ ….. Сn

t₀ t₁ t₂ …. tn

Поток пренумерандо

С₁ С₂ ….. Сn

t₀ t₁ t₂ …. tn

Поток постнумерандо

Рис.3 Виды денежных потоков.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, именно он лежит в основе методики анализа инвестиционных проектов. Некоторое объяснение этому можно дать, исходя из общих правил учета, согласно которым подводить итоги, оценивать финансовый результат того или иного действия по окончанию очередного отчетного периода.

Ключевым моментом при оценки денежных потоков является молчаливая посылка о том, что анализ ведется с позиции "разумного инвестора", т.е. инвестора, не просто накапливающего полученные средства, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях (при наращивании и при дисконтировании) предполагается капитализация по схеме сложных процентов.

Оценка аннуитета предполагает решение двух задач:

1. прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращивания);

2. обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования)

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула FV = PV(1+r)ⁿ ,применяемая к каждому элементу денежного потока.

НП.: Предприниматель имеет возможность делать периодические взносы в банк в течение длительного времени и пытается оценить, какая сумма будет накоплена им к концу этого периода.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную стоимость, непосредственное их суммирование невозможно. Дисконтирование денежного потока осуществляется с помощью формулы

PV = FV/ (1 + r)ⁿ, применяемой к каждому элементу денежного потока.

НП.: Инвестор имеет возможность получить в будущем серию платежей (проценты, дивиденды), спрашивается какую сумму готов заплатить инвестор сегодня за возможность получения в будущем этой серии платежей.

Для оценки будущей и дисконтированной (приведенной) стоимости аннуитета можно пользоваться формулами (1 и 2), вместе с тем благодаря специфики аннуитета в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощенны.

Наращенная стоимость срочного аннуитета постнумерандо:

FVpst = R*FM3 (r;n), FM3 (r;n)= [(1+r)ⁿ-1] / r

Наращенная стоимость срочного аннуитета пренумерандо:

FVpre = R*FM3 (r;n) * (1+r) или FVpre = FVpst * (1+r),

Экономический смысл FM3 (r.n), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия. Предполагается, что производиться лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончанию срока действия аннутитета.

Приведенная стоимость срочного аннуитета постнумерандо,

PVpst = R + FM4 (r;n), FM4 = [1-(1+r) ^-n]/ r

Приведенная стоимость срочного аннуитета пренумерандо.

PVpre = R + FM4 (r;n)* (1+r) или PVpre = PVpst * (1+r)

Экономический смысл FM4(r.n), называемого дисконтирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы, продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.