Формула Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена P_n (x) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x ₀, x ₁,..., x_n и соответствующих значений функции f (x ₀) = y ₀, f (x ₁) = y ₁,..., f (x_n) = y_n интерполяционная формула Лагранжа имеет вид

,

где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [ x ₀, x_n ].

Необходимо отметить, что формула Лагранжа, в отличие от других интерполяционных формул, содержит явно y_i (i = ), что бывает иногда важно.

Пример 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной следующей таблицей.

x 0 = 0,	x 1 = 1,	x 2 = 2,	x 3 = 5,
y 0 = 2,	y 1 = 3,	y 2 = 12,	y 3 = 147.

Для случая четырех узлов интерполяции (n = 3) многочлен Лагранжа представляется следующим образом:

Заменив переменные x_i, y_i (i = )их числовыми значениями, получим интерполяционный многочлен

Интерполирование по формуле Лагранжа связано с большим объемом вычислений, значительная часть которых повторяется при получении нескольких значений P_n (x) для одной функции f (x). В том случае, когда формула Лагранжа используется для многократного получения значений одной функции при различных значениях аргумента, можно значительно уменьшить объем вычислений. Для этого формула Лагранжа представляется в виде

где - лагранжевы коэффициенты, определяемые как

Вычисление лагранжевых коэффициентов выполняется по следующей схеме, удобной при использовании ЭВМ. Составляется таблица разностей:

Произведение элементов i -й строки обозначается через K_i. Отсюда лагранжевы коэффициенты вычисляются по формуле

где П _{n +1}(x) = (x - x ₀)(x - x ₁)…(x - x_n) - произведение элементов главной диагонали таблицы (эти элементы подчеркнуты). Тогда формула Лагранжапринимает вид:

Использование формулы (2) позволяет сократить значительную часть вычислений по определению лагранжевых коэффициентов L_i ⁽ⁿ⁾(x) при различных значениях аргумента. Для этого произведение элемен­тов i -й строки таблицы разностей представляется как K_i = (x – x_i) D_i, где D_i - произведение всех элементов строки, кроме расположенного на главной диагонали. Величина D_i (i= )не зависит от значения аргумента x и может быть вычислена для заданной функции только один раз.