Корреляционная функция случайного процесса на выходе линейного звена

На вход линейного звена подается случайный процесс. Если рассматривать случайный процесс как сумму центрированного процесса и математического ожидания, то в соответствии с принципом суперпозиции можно отдельно преобразовать функцию математического ожидания и центрированный случайный процесс, а затем их просуммировать.

Если корреляционная функция случайного процесса на входе , то для эргодического процесса корреляционная функция на выходе:

,

,

, , - время.

Выражение в квадратных скобках является фактически корреляционной функцией входного процесса x для смещения .

Тогда корреляционная функция

Если входным процессом является «белый шум» , то корреляционная функция процесса на выходе будет:

Спектральная плотность случайного процесса на выходе линейного звена:

Если экспоненту умножить на и , то:

Самый внутренний интеграл (по ) является фактически преобразованием Фурье от корреляционной функции входного процесса, поскольку смещение аргумента на величину не изменяет интеграл для бесконечных пределов интегрирования, т.е.:

не зависит от и и может быть вынесено из под интеграла.

Оставшийся двойной интеграл от 2-х независимых аргументов распадается на произведение 2-х интегралов:

Эти интегралы фактически являются преобразованием Фурье от весовой функции, т.е. комплексной частотной характеристикой, причем 1-й можно считать для отрицательной частоты , а второй – для положительной:

Если на вход линейного звена подается «белый шум» со спектральной плотностью , то на выходе .