Задача безусловной оптимизации для функции одной переменной

Если существует производная f ' (a), то функция f (x) может иметь в точке a внутренний максимум или минимум лишь в том случае, когда

f ' (a) = 0

(необходимое условие экстремума).

Если существует вторая производная f '' (a), то функция f (x) имеет в точке а

максимум при f ' (a) = 0 и f '' (a)<0,

минимум при f ' (a)=0 и f '' (a)>0.

Условия являются достаточными условиями экстремума.

Функции нескольких переменных

Необходимые условия оптимальности следующие: если функция f (x ₁, x ₂, …, x_n)дифференцируема в точке а =(а ₁, а ₂, …, а_n), то она может иметь в этой точке внутренний максимум или минимум лишь в том случае, когда ее первый дифференциал df обращается в этой точке в нуль, т.е. когда

Достаточные условия оптимальности: если функция f имеет в точке а непрерывные вторые частные производные и если в этой точке выполняются необходимые условия, то в случае, когда второй дифференциал

есть отрицательно определенная квадратичная форма, функция f имеет в точке а максимум, если d ² f есть положительно определенная квадратичная форма, то функция f имеет в точке а минимум. Если квадратичная форма не определена, экстремума в точке а нет.

Задача 2.1. Среди всех прямоугольников с периметром фиксированной длины L необходимо найти прямоугольник максимальной площади. Какую длину и ширину будет иметь такой прямоугольник?

Задача 2.2. Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Задача 2.3. Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Задача 2.4. Даны зависимости спроса D=400-20p, и предложения S=70+10p.

Найдите равновесную цену и выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой выручка будем максимальной и саму эту максимальную выручку

Функция выручки (T) = Функция спроса (D)*цену (P)

Задача 2.5. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 150 − 10p. Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 440 тыс. руб.

Задача 2.6. В фермерском хозяйстве решили продавать молоко по 38 руб. за литр и куриные яйца по цене 20 руб.за десяток. Издержки при производстве можно описать формулой

Найти максимальную выручку и количество производимой продукции

Задача 2.7. Определить оптимальное для производителя значение выпуска x, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=14, если известен вид функции издержек C(x) = 13+2x+x³.

Задача 2.8. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р=10,5 и функция издержек имеет вид C(x)=10+x/2+x² / 4.