Итак, параметрические уравнения векторных линий будут

(3.4)

Точке (1,0,0) соответствует значение параметра t, равное нулю. Полагая t=0 в системе (3.4), получим

Откуда находим с₁=1, с₂=0,и значит параметрические уравнения векторной линии, проходящей через точку (1,0,0), будут

-это винтовая линия.

Векторное поле называется плоским, если все векторы расположены в параллельных плоскостях и поле одно и тоже в каждой из этих плоскостей.

Если в какой-либо из этих плоскостей ввести декартову систему координат ХОУ, то векторы поля не будут содержать компоненты по оси OZ и координаты вектора не будут зависеть от z, то есть

. Дифференциальные уравнения векторных линий плоского поля будут иметь вид: или

Отсюда видно, что векторные линии плоского поля являются плоскими, лежащими в плоскостях, параллельных плоскости ХОУ.

Пример 3.3. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.

Решение. Будем считать, что проводник направлен по оси OZ и в этом же направлении течет ток I. Вектор напряженности Н магнитного поля, создаваемого током, равен

Н= (3.5)

где I=I∙K есть вектор тока, r-радиус-вектор точки M(x,y,z), -расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (3.5), получим .

Дифференциальные уравнения векторных линий откуда , то есть векторные линии являются окружностями с центрами на оси OZ.

Пример 3.4. Найти векторные линии следующего поля

Решение. Составим дифференциальное уравнение , интегрируя, получим , . То есть

Дифференциальные уравнения векторных линий , могут быть записаны так: или в векторной форме:

, (3.6)

где . Эта форма уравнений векторных линий оказывается удобной при решении подобных задач.

Пример 3.5. Найти векторные линии поля , где -постоянный вектор.

Решение. Применяя соотношения (3.6), получим

(3.7)

Умножая обе части (3.7) скалярно на и используя свойства смешанного произведения, находим

(3.8)

Аналогично, умножая обе части (13.7) скалярно на , получим

(3.9)

Из уравнения (3.8) следует, что , а из уравнения (3.9) следует, что . Векторные линии являются линиями пересечения плоскостей со сферами .