Производная по направлению

Пусть имеем скалярное поле, определяемое скалярной функцией U=f(M). Возьмем в поле точку М₀ и выберем некоторое направление, определяемое вектором . Возьмем в поле другую точку М₁ так, чтобы вектор был параллелен вектору .

Обозначим через разность . А через длину вектора . Отношение определяет среднюю скорость изменения скалярного поля на единицу длины по данному направлению.

Будем стремить точку М₁ к точке М₀ так, чтобы вектор оставался все время коллиниарен вектору . При этом .

Определение 1.3. Если существует при предел отношения , то его называют производной функциеи U=f(M) в данной точке М₀ по направлению и обозначают символом . Так что по определению

= = , .

Это определение производной по направлению носит инвариантный характер, то есть не связано с выбором системы координат.

Пусть в пространстве введена декартова система координат и пусть функция f(M)=f(x,z,y) дифференцируема в точке М₀(x₀,y₀,z₀).Тогда

(1.3.)

где cos , cos , cos - направляющие косинусы вектора

. Находятся по формулам

, . (1.4)

символы , означают, что частные производные берутся в точке М₀.

Пример 1.5. Найти производную скалярного поля U=x²+y²+z² в точке М₀(1;2;-1) в направлении вектора .

Решение. а) Находим направляющие косинусы вектора по формуле (1.4):

=

= , = (1.5)

б) Находим частные производные функции в точке М₀(1;2;-1)

(1.6.)

(1.5) и (1.6) подставляя в (1.3), получим

Пример 1.6. Найти производную скалярного поля U=xyz в точке М₀(1;-1;1).

Решение. а) Находим направляющие косинусы вектора

=

= (1.7.)

б) Находим частные производные функций в точке М₀(1;-1;1).

(1.8)

Используя формулы (1.3) и учитывая (1.7), (1.8) имеем

Для плоского поля U=f(x,y) производная по направлению в точке М₀(x₀,y₀,z₀) будет равна

, (1.9)

где - угол, образованный вектором с осью ox.

Пример1.7. Вычислить производную скалярного поля U=arctgxy в точке М₀(1,1), принадлежащей параболе y=x², по направлению этой кривой (в направлении возрастания абсциссы).

Решение. Направлением параболы у=х² в точке М₀(1,1) считается направление касательной к параболе в этой точке.

Пусть касательная к кривой в точке М₀ образует с осью ох угол . Пусть откуда направляющие косинусы касательной .

Значение частных производных данной функции U(x,y) в точке М₀(1;1)

; .