Пример 8

Вероятность того, что деталь не стандартна, р = 0,1. Найти сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная часть появления нестандартных деталей (среди отобранных) отклоняется от вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. По условию р = 0,1, q = 0,9, ε = 0,03, . Требуется найти п. Воспользуемся формулой . В силу условия задачи,

, следовательно . По таблице 2 находим . Для отыскания п получаем уравнение , откуда п = 400.

Пример 9. Две независимые случайные величины Х и У заданы своими законами распределения

Найти закон распределения случайной величины Z = X + Y. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величин Х, У и Z.

Решение. Составляем закон распределения случайной величины Z. Он будет иметь вид.

Контроль: 0,03 + 0,07 + 0,09 + 0,21 + 0,18 + 0,42 =1

Находим М (Х) = 1∙0,1 + 2∙0,3 + 3∙0,6 = 2,5, М (У) = 2∙0,3 + 4∙0,7 = 3,4,

М (Х + У) = 3∙0,03 + 5∙0,07 + 4∙0,09 + 6∙0,21 + 5∙0,18 + 7∙0,42 = 5,9.

Проверка: М (Х + У) = М (Х) + М (У) = 5,9; М (Х ²) = 1∙0,1 + 4∙0,3 + 9∙0,6 = 6,7;

М (У ²) = 4∙0,3 + 16∙0,7 = 12,4.

D (X) = M (X ²) – [ M (X)]² = 6,7 – 2,5² = 0,45.

D (Y) = M (Y ²) – [ M (Y)]² = 12,4 – (3,4)² = 0,84.

M [(X + Y)²] = 9∙0,03 + 25∙0,07 + 16∙0,09 + 36∙0,21 + 25∙0,18 + 49∙0,42 = 36,1;

D (X + Y) = M [(X + Y)²] – [ M (X + Y)]² = 36,1 – 5,9² = 1,29.

Проверка: D (X + Y) = D (X) + D (Y) = 1,29.

, ,

.