Пример 10

Непрерывная случайная величина Х задана своей плотностью распределения вероятностей

Требуется:

a. найти коэффициент А;

b. найти функцию распределения F (x);

c. построить график функций f (x) и F (x);

d. найти математическое ожидание и дисперсию Х;

e. найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α, β), если

α = 1, β = 2.

Решение:

1) Так как все значения случайной величины заключены в промежутке [0,3], то .

2) Воспользуемся формулой .

Если x <0, то f (x) = 0 и .

Если 0 ≤ х ≤ 3, то .

Если х > то .

Искомая функция распределения имеет вид:

3) Строим графики функций f (x) и F (x):

Рис. 1 Рис. 2

1) Математическое ожидание

.

Дисперсия:

5) .

Пример 11. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Найти параметр А и плотность распределения f (x).

Решение.

Известно, что , , откуда , или А = 1. Таким образом

Пример 12. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а = 30 и σ = 10. Требуется:

1) написать плотность вероятности и схематически построить ее график;

2) определить вероятность попадания Х в интервале (10, 50);

3) определить вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а = 30 не более чем на .

15. Решение. По заданным параметрам случайной величины Х плотность вероятности будет иметь вид

Схематически строим график: ;

Рис. 3

2) Применяя формулу , получим

.

По таблице значений функции Лапласа находим . Следовательно Р (10< X <50) = 2∙0,4772=0,9544.

3) Вероятность отклонения находим по формуле

. Подставив данные, получим

, где по таблице .

Пример 13. Дана выборка:

Требуется:

1) определить размах варьирования значений СВ Х и составить вариационный ряд распределения СВ Х;

2) составить интервальный вариационный ряд распределения;

3) найти выборочное среднее , выборочную дисперсию D_в, выборочное среднее квадратическое отклонение σ _в, моду М _о, медиану М_е и коэффициент вариации δ _в выборки;

4). построить эмпирическую функцию распределения F^*(х).

5) построить гистограмму относительных частот и линию эмпирической плотности;

6) пользуясь критерием Пирсона проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05, предварительно вычислив для каждого интервала группирования вариационного ряда выравнивающие частоты;

7) на гистограмме относительных частот нанести линию плотности f (x) нормального распределения;

8) найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания М (Х) генеральной совокупности случайной величины с надежностью γ = 0,95.

Решение: 1. Объем выборки п = 100, минимальное значение x_min = 46, максимальное х_max = 85, размах варьирования R = 39.

Составляем вариационный ряд:

Таблица 1

xi

ni

xi

ni

Проверка: (объем выборки).

2. По формуле Стерджеса определяем длину интервалов h

.

Округляем полученное значение до ближайшего целого числа. Принимаем длину интервала h = 5. За начало интервала принимаем значение . Составляем интервальный вариационный ряд распределения СВ Х, группируя исходные данные в интервалы с шагом h. Число интервалов k = 9.

Таблица 2

№ интервала	Границы интервалов	Частоты пi	Относительные частоты wi	Середины интервалов	Плотность частоты wi / h	Накопленные частости wi нак.
начало xi	конец xi +1
	43,5	48,5		0,02		0,004	0,02
	48,5	53,5		0,11		0,022	0,13
	53,5	58,5		0,12		0,024	0,25
	58,5	63,5		0,15		0,030	0,40
	63,5	68,5		0,21		0,042	0,61
	68,5	73,5		0,15		0,030	0,76
	73,5	78,5		0,15		0,030	0,91
	78,5	83,5		0,05		0,010	0,96
	83,5	88,5		0,04		0,008	1,00
Контроль

3. Находим выборочное среднее , выборочную дисперсию D_в, выборочное среднее квадратическое отклонение , моду М_о, медиану М_е и коэффициент вариации δ_в.

; ; .

Для контроля вычислений и исключения арифметических ошибок целесообразно расчеты сумм, входящих в формулы и D_в провести с помощью табл. 3 следующего вида:

Таблица 3

пi
			-19,8	392,04	784,08
			-14,8	219,04	2409,94
			-9,8	96,04	1152,48
			-4,8	23,04	345,60
			0,2	0,04	0,84
			5,2	27,04	405,60
			10,2	104,04	1560,60
			15,2	231,04	1155,20
			20,2	408,04	1632,16
	-		-	-

Окончательно получим: ;

;

.

По вариационному ряду (табл.1) устанавливаем величины моды и медианы выборки: (или 67) – значения выборки имеют наибольшую частоту; – значения серединного элемента вариационного ряда.

Коэффициент вариации .

4. Построим эмпирическую функцию распределения F* (x). Используя данные таблицы 2 находим значения этой функции, а затем строим график.

(указаны середина интервалов )

Рис. 4

5. Строим гистограмму относительных частот, используя данные таблицы 2.

(указаны границы интервалов)

Рис. 5

Соединив отрезками прямых середины верхних сторон прямоугольников, получаем линию эмпирической плотности.

По виду гистограммы относительных частот и линии эмпирической плотности принимаем нулевую гипотезу Н_о о том, что распределение рассматриваемой СВ Х подчиняется нормальному закону распределения.

6. Для каждого интервала варьирования, используя данные таблицы 2 предыдущего примера, находим теоретические выравнивающие частоты по формуле

,

где Φ (z) – табличные значения функции Лапласа, , .

В рассматриваем примере (девять интервалов), , σ_в = 9,72, п = 100. Данные расчеты представим в таблице 4. При использовании приведенной формулы теоретических частот наименьшее значение аргумента функции Лапласа z_i для первого интервала выборки принято равным –∞ (Φ (- ∞) = –0,5), а наибольшее значение аргумента z_{i +1} для последнего интервала +∞ (Φ (+∞) = 0,5).

Таблица 4

№ интервала	Границы интервалов	zi	zi+ 1	Φ (zi)	Φ (zi+1)	Φ (zi+1) – Φ (zi)	пТi
xi	xi+ 1
	43,5	48,5	-∞	-1,78	-0,5	-0,4625	0,0375	3,75
	48,5	53,5	-1,78	-1,26	-0,4625	-0,3962	0,0663	6,63
	53,5	58,5	-1,26	-0,75	-0,3962	-0,2734	0,1228	12,28
	58,5	63,5	-0,75	-0,24	-0,2734	-0,0948	0,1786	17,86
	63,5	68,5	-0,24	0,28	-0,0948	0,1103	0,2051	20,51
	68,5	73,5	0,28	0,79	0,1103	0,2852	0,1749	17,49
	73,5	78,5	0,79	1,31	0,2852	0,4049	0,1197	11,97
	78,5	83,5	1,31	1,82	0,4049	0,4656	0,0607	6,07
	83,5	88,5	1,82	+∞	0,4656	0,5	0,0344	3,44
							Σрi = 1	Σпi = 100

Проверка: ; .

Проводим сопоставление эмпирических (по данным выборки) частот п_i с полученными выравнивающими частотами (табл. 5).

Таблица 5

пi
пТi	3,75	6,63	12,28	17,86	20,51	17,49	11,97	6,07	3,44

Объединяем малочисленные частоты (п_i, п^Т_i < 5) на левом и правом концах выборки с соседними интервалами и получаем окончательную таблицу с числом частичных интервалов S =7.

Таблица 6

пi
пТi	10,38	12,28	17,86	20,51	17,49	11,97	9,51

Проверяем согласие гипотезы о нормальном законе распределения изучаемой СВ Х по критерию Пирсона.

Число степеней свободы k=s –1– r = 7–1–2 = 4, где s − число интервалов, а k − число параметров нормального распределения. По таблице критических точек распределения χ ² для уровня значимости α = 0,05 находим: χ ² _кр = 9,5 (см. табл. 3 приложения).

Так как χ ²_набл.< χ ²_кр, следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения СВ Х принимается.

7. На гистограмме относительных частот (рис. 2) построим линию теоретической плотности нормального закона распределения .

В рассматриваемом случае полагаем , σ ≈ σ_в.

Тогда формула для плотности вероятности принимает вид:

.

Найдем максимум функции f (x) и значения функции в точках перегиба:

,

.

Выберем на оси х на участке гистограммы еще несколько точек, в качестве которых

удобно выбрать точки с координатами и :

;

.

По полученным значениям f(x) на гистограмме относительных частот наносим линию теоретической плотности нормального распределения (на рис. 2 расчетные точки показаны кружками).

8. Находим доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания СВ Х.

,

где , γ = 0,95 (по условию задачи);

t_γ = t (γ, n) = t (0,95; 100) = 1,984, (см. табл. 4 приложения)

.

65,80 – 1,94 < a < 65,80 + 1,94, т.е. 63,86 < a < 66,74.

На основании проведенных расчетов можно сделать вывод о том, что с вероятностью γ = 0,95 неизвестное математическое ожидание СВ Х находится в интервале (63,86; 66,74).

Пример 13. Найти выборочное уравнение прямой регрессии У на Х: для двумерной случайной величины (Х, У), значения которой представленны в корреляционной таблице:

Таблица 7

Х У						пу
	-	-	-
	-
				-	-
пх

Построить график линии регрессии на корреляционном поле. При проверке значимости коэффициента корреляции принять доверительную вероятность γ = 0,95.

1. Используя данные корреляционной таблицы определяем , σ ² _х, σ ² _у, σ_х, σ _у, с_ху, r_в.

Предварительно вычислим суммы:

;

;

;

;

Средние арифметические значения:

; .

Дисперсия и средние квадратические отклонения:

D(X) = ;

D(Y) = ;

; .

Корреляционный момент

.

Выборочный коэффициент корреляции .

2. Приняв доверительную вероятность γ = 0,95 при п = 100 и числе степеней свободы k = n – 2 = 98 по таблице распределения Стьюдента (см. табл. 4 приложения) определяем значение

t_кр = t _{0,95; 98} ≈ 1,99.

Вычисляем статистику .

; .

Так как , то гипотезу об отсутствии линейной корреляции между СВ Х и У отвергаем.

3. Находим уравнение линии эмпирической регрессии:

.

4. В системе координат х и у, используя корреляционную таблицу, соответствующими точками изображаем корреляционное поле и наносим прямую выборочной регрессии согласно полученного уравнения. На корреляционное поле (рис. 3) цифрами показано количество совпадающих точек. Положение прямой линии регрессии соответствует расположению экспериментальных точек.

Рис. 6

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

Таблица значений функции ,

х
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4

х
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Таблица 2

Таблица значений функции ,

х
0,0	0,00000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,49865	3,1		3,2		3,3		3,4
3,5		3,6		3,7		3,8		3,9
4,0
4,5
5,0

Таблица 4 Таблица 3

Таблица значений t_γ = t (γ, n) Критические точки распределения χ²

n\γ	0,95	n\γ	0,95		Число степеней свободы k	Уровень значимости
	2,78		2,093	0,01	0,05
	2,57		2,064
	2,45		2,045			6,6	3,8
	2,37		2,032			9,2	6,0
	2,31		2,023			11,3	7,8
	2,26		2,016			13,3	9,5
	2,23		2,009			15,1	11,1
	2,20		2,001			16,8	12,6
	2,18		1,996			18,5	14,1
	2,16		1,001			20,1	15,5
	2,15		1,987			21,7	16,9
	2,13		1,984			23,2	18,3
	2,12		1,980			24,7	19,7
	2,11	∞	1,960			26,2	21,0
	2,10					27,7	22,4
						29,1	23,7
						30,6	25,0
						32,0	26,3
						33,4	27,6
						34,8	28,9
						36,2	30,1
						37,6	31,4