Расчёт неразветвлённой цепи с несинусоидальными напряжениями и токами

Составляем схему заданной цепи, подключая последовательно соединённые приёмники к источнику напряжения

u = 220 Sin (ωt + 15⁰) + 80 Sin (3ωt – 25⁰) + 30 Sin 5ωt = u₁ + u₃ + u₅,

который на схеме замещения представляем как последовательно соединённые три источника переменного напряжения u₁, u₂ и u₃ с разными частотами (рисунок 6.1) Величины сопротивлений заданы для частоты первой гармоники: R₁ = 2 Ом, X_C11 = 3 Ом, R₂ = 14 Ом, X_C21 = 12 Ом, X_L31 = 18 Ом. Поскольку напряжения источников имеют разные частоты, то и реактивные сопротивления для них будут иметь разные величины. Активные сопротивления считаем от частоты не зависящими. Поэтому расчёт ведём методом наложения, то есть отдельно для каждой гармоники.

Первая гармоника.

Определяем активное и реактивное сопротивления всей цепи:

R= R₁+ R₂ = 2 + 14 = 16 О;.

X₁= –X_C11 – X_C21 + X_L31 = –3 – 12 + 18 = 3 Ом.

Полное сопротивление цепи:

Z₁ = = = 16,3 Ом.

Амплитудные значения напряжения и тока:

U_m1 = 220 B, I_m1 = U_m1 / Z₁ = 220 / 16,3 = 13,5 A.

Действующие значения напряжения и тока:

U₁ = U_m1 / = 220 / 1,41 = 156 B;

I₁ = I_m1 / = 13,5 / 1,41 = 9,55 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяем по синусу:

Sinφ₁ = X₁ / Z₁ = 3 / 16,3 = 0,184; φ₁ = 10,6°, Cosφ₁ = 0,983.

Активная и реактивная мощности первой гармоники:

P₁ = I₁² * R = 9,55²*16 =1459 В; Q₁ = I₁² * X₁ = 9,55² * 3 = 274 вар.

Начальная фаза тока определяется из соотношения:

φ₁ = y_U1 – y_I1, отсюда y_I1 = y_U1 - φ₁ = 15° – 10,6° = 4,4°.

Мгновенное значение тока для первой гармоники тока

i₁ = I_m1 * Sin (ωt + y_I1) = 13,5 * Sin (ωt + 4,4°) A.

Третья гармоника.

Для остальных гармоник напряжения расчёты приводим без дополнительных разъяснений.

X₃ = –X_C11 / 3 – X_C21 / 3 + X_L31*3 = –3 / 3 – 12 / 3 + 18 * 3 = 49 Ом.

Z₃= = = 51,5 Ом; U_m3 = 80 B; I_m3 = U_m3 / Z₃ = 80/51,5 = =1,56 A.

U₃ = U_m3 / = 80 / 1,41 = 56,6 B; I₃ = I_m3/ = 1,56 / 1,41= 1,1 A;

Sin φ₃ = X₃ / Z₃ = 49 / 51,5 = 0,95; φ₃ = 72°; Cos φ₃ = 0,308;

P₃ = I₃² * R₃ = 1,1² * 16 = 19 Вт; Q₃ = I₃² * X₃ = 1,1² * 49 = 59 вар;

y_I3 = y_U3 – φ₃ = –25° – 72° = –97°;

i₃ = I_m3 * Sin (3 ωt + y_I3) = 1,56 * Sin (3 ωt – 97°).

Пятая гармоника.

X₅ = -X_C11 / 5 – X_C21 / 5 + X_L31* 5 = -3 / 5 – 12 / 5 + 18 * 5 = 93 Ом;

Z₅ = = 94 Ом; U_m5=30 B; I_m5=U_m5/Z₅ = 30/94= 0,319 А;

U₅ = U_m5/ =30/ =21,2 B; I₅ = I_m5/ =0,319 /1,41= 0,226 A.

Sin φ₅ = X₅ / Z₅ = 93 / 95 = 0,979; φ₅ = 78,2°; Cos φ₅ = 0,204;

P₅ = I₅²*R 0,226²*16=0,82 Вт;Q₅ = I₅²*X₅ = 0,226² * 93 = 4,75 вар;

y_I5 = y_U5 - φ₅ = -φ₅ = -78,2⁰.

i₅ = I_m5 * Sin (5 ωt + y_I5) = 0,319 * Sin (5 ωt – 78,2⁰) A.

Определяем действующие значения тока и напряжения:

I = = = 9,62 A;

U = = = 167 B;

Р = Р₁ + Р₃ + Р₅ = 1459+19+0,82 = 1479 Вт.

Средневзвешенный коэффициент мощности цепи:

Cos Х = Р / (U * I) = 1479 / (167 * 9,62) = 0,9206.

Уравнение мгновенных значений тока в цепи:

i =i₁+i₃+i₅=13,5* (ωt + 4,4°)+1,56*Sin(3ωt – 97°) + 0,319*Sin(5ωt - – 78,2°) A.