Двойной интеграл в полярной системе координат

Замена переменных интегрирования х и у в двойном интеграле, часто существенно упрощает его вычисление.

Пусть с помощью функций:

(2.5.1)

осуществляют переход от старых координат x, y к новым u, υ.

Эти функции должны быть непрерывными вместе со своими частными производными и однозначно решаться относительно u и υ. При этих условиях область D будет однозначно отображаться в область D ^*.

При переходе от декартовых к криволинейным координатам элемент площади dxdy преобразуется в элемент площади dudυ при этом они связаны соотношением:

(2.5.2)

где – функциональный определитель Якоби, или Якобиан, он равен:

Таким образом, в общем случае замену переменных интегрирования в двойном интеграле осуществляют по формуле:

(2.5.3)

Из выражения (2.5.3) следует, что для того чтобы в двойном интеграле перейти к новым переменным интегрирования, нужно: переменные x и y заменить функциями (2.5.1), вместо элемента площади ds = dxdy подставить выражение dudυ и область D заменить ее отображением D ^*. Затем, вычисление двойного интеграла (2.5.3) сводят к последовательному вычислению двух линейных интегралов по новым переменным u и υ.

Перейдем в двойном интеграле от декартовых к полярным координатам по формуле (2.5.3), при этом за u примем полярный радиус r, а за υ – угол φ:

Функции x (r,φ) и y (r, φ) известны, они равны:

Найдем определитель Якоби:

Тогда

(2.5.4)

и двойной интеграл в полярной системе координат примет вид:

(2.5.5)

Чтобы вычислить полученный интеграл (2.5.5), следует перейти к двукратному интегрированию по новым переменным r и φ, а для этого нужно найти пределы их изменения в области D ^*.

Построение области D ^* в полярных координатах не обязательно. Если построена область D в декартовой системе координат, то пределы изменения полярного радиуса r и угла φ в новой системе отсчета легко определить по области D.

Например, пусть область D ограничена замкнутой кривой, а полюс лежит внутри кривой (рис. 2.5.1).

В этом случае нужно найти полярное уравнение ограничивающей линии r = r (φ).

Тогда угол φ внутри области будет изменяться от 0 до 2π, а полярный радиус r – от 0 до своих значений на кривой r = r (φ), т.е.:

Если область D в декартовой системе отсчета есть полукруг радиуса R с центром в начале координат, расположенный в верхней полуплоскости (рис. 2.5.2), то значения полярного радиуса r и угла φ внутри D заключены в пределах 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ π,

следовательно:

И наконец может быть еще такой случай. Полюс лежит за пределами области D (Рис. 2.5.3), которая ограничена двумя линиями:

r ₁ = r ₁(φ) и r ₂ = r ₂(φ),

тогда

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл где область D есть первая четверть круга .

Решение. Построим область D в декартовой системе координат (рис. 2.5.4). В двойном интеграле перейдем к полярным координатам по формуле (2.5.5):

Полярный угол φ в области D изменяется от 0 до , а полярный радиус r – от 0 до R, следовательно:

Пример 2. Вычислить двойной интеграл где область D верхняя часть круга .

Решение. Перейдем к полярным координатам в двойном интеграле

Значения переменных φ и r заключены в пределах 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 1, поэтому

Каждый из линейных интегралов в правой части равенства можно вычислить отдельно, так как пределы постоянны:

Находя первообразные и подставляя пределы окончательно получим:

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

где D есть часть кольца, определяемая неравенствами:

Решение. Построим область D (рис. 2.5.5). Вычисление данного интеграла в декартовой системе координат довольно громоздко, поэтому лучше преобразовать двойной интеграл к полярным координатам:

В области D полярный радиус r изменяется от 1 до 3, а полярный угол φ от до . Переходя к двукратному интегрированию по φ и r, получим: .

Примечание. Уравнения окружностей x ² + y ² = 1 и x ² + y ² = 9 в полярной системе представляют собой координатные линии вида r = 1 и r = 3 соответственно. В этом легко убедиться, если в данные уравнения вместо переменных x и y подставить их выражения через полярные координаты:

x = r ·cosφ, y = r ·sinφ, в самом деле

r = 3

Уравнения прямых и , проходящих через начало координат, в полярной системе также переходят в координатные линии и . В частности, .

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

где область интегрирования задана неравенством

Решение. Преобразуем уравнение , выделив полный квадрат по переменной x:

Следовательно, границей области D является окружность радиуса центр которой смещен вправо по оси Ох на величину (рис. 2.5.6).

В данном случае также удобно перейти к полярным координатам:

Полярный угол φ будет изменяться от до . Чтобы определить пределы для второй переменной r, найдем уравнение окружности в полярной системе:

Полярный радиус r внутри области D изменяется от 0 до своих значений на линии r = R cosφ (Рис. 2.5.6), т.е. пределы во внутреннем интеграле зависят от φ. Поэтому интегрируем сначала по r:

В последнем выражении вынесем за знак интеграла R ³ и учтем, что тогда:

Вычисляя последние интегралы по переменной φ, окончательно получим:

Из приведенных примеров следует, что когда область интегрирования представляет собой круг, кольцо или часть круга и кольца с центром в начале координат, то при переходе к полярной системе, пределы у новых переменных φ и r становятся постоянными, а это значительно упрощает вычисления двойных интегралов.

Задачи для самостоятельного решения. Перейти к полярным координатам в двойном интеграле ,

Расставить пределы для переменных r и j.

1.

2.

3.

4. Перейти к полярным координатам в интеграле ,

расставить пределы, если область D ограничена линиями:

; ;

5. . Перейти к полярным координатам, расставить пределы, если

6. Вычислить ; D – первая четверть круга .

Практическое занятие 2.6. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат

В общем случае замену переменных интегрирования в тройном интеграле осуществляют так же, как и в двойном.

Пусть функции:

(2.6.1)

непрерывны вместе со своими частными производными и однозначно разрешаются относительно u, υ, ω. Тогда, с помощью этих функций область W в декартовой системе координат однозначно отображается в область W ^* в криволинейной системе координат.

При этом элементы dV и dV ^* в старой и новой системах будут связаны соотношением:

или

(2.6.2)

где

В результате тройной интеграл преобразуется по формуле:

(2.6.3),

а его вычисление сводят к трехкратному интегрированию по переменным u, υ, ω. Примерами криволинейных систем в пространстве могут служить цилиндрическая и сферическая системы координат. Перейдем к их рассмотрению.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Положение точки в пространстве в цилиндрической системе координат однозначно задают тремя числами φ, r, z.

Цилиндрические координаты точки получают путем добавления к ее полярным координатам аппликаты z (рис. 2.6.1). Цилиндрические и декартовые координаты точки связаны между собой соотношениями:

(2.6.4)

Перейдем в тройном интеграле от декартовых к цилиндрическим координатам. Элемент объема dV преобразуется по формуле

Найдем определитель Якоби:

следовательно:

(2.6.5)

Далее, нужно перейти к трем линейным интегралам по переменным r,φ, z. Пределы изменения новых переменных расставляют по виду области W. Так же как и в двойном интеграле строить область W ^* не обязательно. Покажем это на примере.

Пример 1. Вычислить тройной интеграл где область W задана неравенствами:

Решение. Область, по которой нужно вычислить тройной интеграл, заключена внутри цилиндра , а сверху отрезана конусом (рис. 2.6.2).

Цилиндрическая поверхность и конус пересекаются по линии на высоте z =1. Перейдем в тройном интеграле к цилиндрическим координатам по формуле (2.6.5):

Найдем пределы изменения r,φ, z. Проекция W на плоскость xОy – есть круг, ограниченный окружностью уравнение которой в полярной системе является координатной линией r = 1. Следовательно, значения переменных r и φ заключены в пределах:

Для определения границ изменения переменной z, проведем прямые, параллельные оси Oz. Эти прямые будут входить в область W на плоскости
z = 0 и выходить из нее на конической поверхности Найдем уравнение этой поверхности в цилиндрической системе

Таким образом, переменная z в области W изменяется от 0 до своих значений на конусе z = r. Переходя к трехкратному интегрированию по переменным r, φ и z, получим:

В данном примере проекцией W на плоскость xOy был круг с центром в начале координат, поэтому при переходе к цилиндрическим координатам пределы у переменных r и φ были постоянными. Это упростило вычисление тройного интеграла.

Пример 2. Вычислить тройной интеграл , где область W задана неравенствами

Решение. Область ограничена двумя поверхностями: снизу – конусом сверху – параболоидом вращения (рис. 2.6.3).

Их линией пересечения является окружность. Найдем ее уравнение из условия . Для этого в уравнении параболоида заменим выражение на :

Корни полученного квадратного уравнения раны

Подставляя z = 2 в любое из уравнений, либо конуса, либо параболоида вращения, найдем уравнение их линии пересечения:

Так как область W проектируется на плоскость xOy в круг с радиусом R = 2, и центром в начале координат, в тройном интеграле перейдем к цилиндрическим координатам:

Внутри области W полярный угол φ изменяется от 0 до 2 π, а полярный радиус r – от 0 до 2. Значения переменной z заключены между двумя поверхностями и

Найдем их уравнения в цилиндрической системе отсчета

Расставляя пределы изменения для переменных φ, r и z и переходя к трехкратному интегрированию, получим