2015-04-12
1741
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности, то есть, если X - дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:
| xi | x 1 | x 2 | … | xn |
| pi | p 1 | p 2 | … | pn |
то математическое ожидание M(X) находится по формуле:
M(X) = x1p1 + x2p2 + …+ xnpn. (16.1)
Отметим, что при большом числе опытов среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию.
Замечание. Математическое ожидание случайной величины есть величина неслучайная.
Основные свойства математического ожидания:
1. M(С) = М;
Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М (С) = С ·1 = С.
2. M(CX) = CM(X);
Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения
| xi | x 1 | x 2 | … | xn |
| pi | p 1 | p 2 | … | pn |
то ряд распределения для СХ имеет вид:
| Сxi | Сx 1 | Сx 2 | … | Сxn |
| pi | p 1 | p 2 | … | pn |
Тогда М (СХ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Схпрп = С (х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + хпрп) = СМ (Х).
|
|
|
3. M(XY) = M(X) M(Y), где X и Y - независимые случайные величины.
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.
Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:
| xi | x 1 | x 2 |
| pi | p 1 | p 2 |
| уi | у 1 | у 2 |
| gi | g 1 | g 2 |
Тогда ряд распределения для XY выглядит так:
| ХY | x 1 y 1 | x 2 y 1 | x 1 y 2 | x 2 y 2 |
| p | p 1 g 1 | p 2 g 1 | p 1 g 2 | p 2 g 2 |
Следовательно, M (XY) = x 1 y 1· p 1 g 1 + x 2 y 1· p 2 g 1 + x 1 y 2· p 1 g 2 + x 2 y 2· p 2 g 2 = y 1 g 1(x 1 p 1 + x 2 p 2) +
+ y 2 g 2(x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M (X)· M (Y).
4. M(X+Y) = M(X) +M (Y);
Доказательство.
Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведенными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х 1 + у 1, х 1 + у 2, х 2 + у 1, х 2 + у 2. Обозначим их вероятности соответственно как р 11, р 12, р 21 и р 22. Найдем М (Х + Y) = (x 1 + y 1) p 11 + (x 1 + y 2) p 12 + (x 2 + y 1) p 21 + (x 2 + y 2) p 22 =
= x 1(p 11 + p 12) + x 2(p 21 + p 22) + y 1(p 11 + p 21) + y 2(p 12 + p 22).
Докажем, что р 11 + р 22 = р 1. Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х 1 + у 1 или х 1 + у 2 и вероятность которого равна р 11 + р 22, совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х 1 (его вероятность – р 1). Аналогично доказывается, что p 21 + p 22 = р 2, p 11 + p 21 = g 1, p 12 + p 22 = g 2. Значит,
M (X + Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
Замечание. Из свойства 4 следует, что математическое ожидание суммы любого числа случайных величин (как независимых, так и зависимых) равно сумме их математических ожиданий.
|
|
|
Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.
Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:
М (Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 
Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М (Х)= 
