2015-04-17
5868
1. Кинетическая энергия электрона равна 1,02 МэВ. Вычислить длину волны де Бройля этого электрона.
Дано: Ek = 1,02 МэВ =16,2·10-14 Дж, E0 = 0,51 МэВ = 8,1·10-14 Дж.
Найти λ.
Решение. Длина волны де Бройля определяется по формуле 
, (1) где λ — длина волны, соответствующая частице с импульсом 
; 
— постоянная Планка. По условию задачи кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя: Еk = 2Е0, (2) следовательно, движущийся электрон является релятивистской частицей. Импульс релятивистских частиц определяется по формуле
, (3)
или, учитывая соотношение (2),
; (4)
Подставляя (4) в (1), получим
.
Производя вычисления, получим
.
Ответ: λ = 
.
2. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус ядра равным 10~18 см.
Дано: Rя = 10-15 м, = 6,62·10-34 Дж·c.
Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга выражается формулой
;
где 
— неопределенность координаты; 
— неопределенность импульса; —постоянная Планка. Если неопределенность координаты принять равной радиусу ядра, т. е. 
, то неопределенность импульса электрона выразим следующим образом: 
. Так как 
, то 
и 
. Вычислим неопределенность скорости электрона:
.
Сравнивая полученное значение 
со скоростью света в вакууме с = 3·108 м/с, видим, что 
, а это невозможно, следовательно, ядра не могут содержать электронов.
3. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной 1 нм в возбужденном состоянии. Определить минимальное значение энергии электрона и вероятность нахождения электрона в интервале 
второго энергетического уровня.
Дано: 
.
Найти: 
, 
.
В квантовой механике информацию о движении частиц получают из волновой функции (Т-функция), которая отражает распределение частиц или систем по квантовым состояниям. Эти частицы характеризуются дискретными значениями энергии, импульса, момента импульса; т. е. 
- функция является функцией состояния частиц в микромире. Решая уравнение Шредингера, получим, что для рассматриваемого случая собственная функция имеет вид
, (1)
где 
= 1, 2, 3,...; 
— координата частицы; 
— ширина ямы. Графики собственных функций изображены на рис. 17. Согласно соотношению де Бройля двум отличающимся знаком проекциям импульса соответствуют две плоские монохроматические волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях вдоль оси . В результате их интерференции возникают стоячие волны де Бройля, характеризующиеся стационарным распределением вдоль оси амплитуды колебаний. Эта амплитуда и есть волновая функция (х), квадрат которой определяет плотность вероятности пребывания электрона в точке с координатой . Как видно из рис. 17, для значения =1 на ширине ямы укладывается половина длины стоячей волны де Бройля, для =2 — целая длина стоячей волны де Бройля и т. д., т. е. в потенциальной яме могут быть лишь волны де Бройля, длина которых удовлетворяет условию
(
)
Таким образом, на ширине ямы должно укладываться целое число полуволн: 
. (2)
Полная энергия частицы в потенциальной яме зависит от ее ширины и определяется формулой 
, (3) где 
— масса частицы; - 1, 2, 3.... Минимальное значение энергии электрон будет иметь при минимальном значении , т.е. при =1. Следовательно,
.
Подставляя числовые значения, получим
.
Вероятность того, что электрон будет обнаружен в интервале от до 
, равна 
. Искомую вероятность находим интегрированием в пределах от 0 до 
:
.
Используя соотношение 
, вычисляем интеграл при условии, что электрон находится на втором энергетическом уровне:
;
Ответ: 
, 
4. Граничная длина волны Кα - серии характеристического рентгеновского излучения для некоторого элемента равна 0,0205 нм. Определить этот элемент.
Дано: 
.
Найти Z.
Решение. Из формулы Мозли
,
где λ — длина волны характеристического излучения, равная 
(с — скорость света, v — частота, соответствующая длине волны λ); R — постоянная Ридберга; Z — порядковый номер элемента, из которого изготовлен электрод; 
— постоянная экранирования; 
— номер энергетического уровня, на который переходит электрон; — номер энергетического' уровня, с которого переходит электрон (для Кα - серии =1, =2, =1), находим Z:
;
.
Порядковый номер 78 имеет платина.
Ответ: Z = 78 (платина).
5. На поверхность воды падает узкий монохроматический пучок γ-лучей с длиной волны 0,775 пм. На какой глубине интенсивность γ-лучей уменьшится в 100 раз!
Дано: λ = 0,775 пм = 7,75·10-13 м, 
=100.
Найти
Решение. Ослабление интенсивности γ-лучей определяется из формулы 
, (1) откуда 
, где 
— интенсивность падающего пучка γ-лучей; — их интенсивность на глубине ; 
— коэффициент линейного ослабления. Решая уравнение (1) относительно , находим
; 
. (2)
Для определения , вычислим энергию γ-квантов 
, где — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме. Подставляя числовые значения, получим
.
По графику зависимости линейного коэффициента ослабления γ-лучей от их энергии (рис. 18) находим = 0,06 см-1. Подставляя это значение ц в формулу (2), находим
.
Ответ: 
6. Определить, сколько ядер в 1 г радиоактивного 
распадается в течение одного года.
Дано: 
Найти 
Решение. Для определения числа атомов, содержащихся в 1 г , используем соотношение
,
где 
– постоянная Авогадро; 
- число молей, содержащихся в массе данного элемента; M - молярная масса изотопа. Между молярной массой изотопа и его относительной атомной массой существует соотношение: М = 10-3 А кг/моль. (2) Для всякого изотопа относительная атомная масса весьма близка к его массовому числу А, т. е. для данного случая M = 10-3·90 кг/моль = 9·10-2 кг/моль.
Используя закон радиоактивного распада
, (3)
где 
— начальное число нераспавшихся ядер в момент 
; N — число нераспавшихся ядер в момент 
; λ — постоянная радиоактивного распада, определим количество распавшихся ядер в течение 1 года:
. (4)
Учитывая, что постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада соотношением λ = 1n 2/T, получим
. (5)
Подставляя (1) с учетом (2) в выражение (5), имеем
. (6)
Произведя вычисления по формуле (6), найдем
Ответ: 
7. Вычислить в мегаэлектрон-вольтах энергию ядерной реакции:
Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?
Решение. Энергию ядерной реакции 
, (1), где 
— дефект массы реакции; с — скорость света в вакууме. Если выражать в а.е.м., то формула (1) примет вид 
. Дефект массы равен
.
Так как число электронов до и после реакции сохраняется, то вместо значений масс ядер воспользуемся значениями масс нейтральных атомов, которые приводятся в справочных таблицах:
; 
; 
;
Реакция идет с выделением энергии, так как >0:
Ответ: 
=7,66 МэВ.
8. Медь имеет гранецентрированную кубическую решетку. Расстояние между ближайшими атомами меди 0,255 нм. Определить плотность меди и параметр решетки.
Дано: d = 0,255 нм = 2,55·10-10 м, =4, М=бЗ,54·10-3 кг/моль.
Найти: р, а.
Решение. Плотность кристалла меди найдем по формуле 
, (1) где М — молярная масса меди; 
— молярный объем. Он равен объему одной элементарной ячейки 
, умноженной на число 
элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла: 
. (2)
Число элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла, состоящего из одинаковых атомов, найдем, разделив постоянную Авогадро 
на число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку: 
. (3) Для кубической гранецентрированной решетки = 4. Подставляя (3) в (2), получим
. (4)
Подставляя (4) в (1), окончательно имеем
.
Расстояние между ближайшими соседними атомами связано "с параметром решетки а простым геометрическим соотношением (рис. 19):
.
Подставляя числовые значения в расчетные формулы, находим
;
.
Ответ: 
; 
.
Рис. 19
9. Кристаллический алюминий массой 10 г нагревается от 10 до 20 К. Пользуясь теорией Дебая, определить количество теплоты, необходимое для нагревания. Характеристическая температура Дебая для алюминия равна 418 К. Считать, что условие Т 
выполняется.
Дано: = 0,01 кг, 
= 10 К, 
= 20 К, 
=418 К, 
= 27·10-3 кг/моль.
Найти Q.
Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания алюминия от температуры до , будем вычислять по формуле
(1)
где — масса алюминия; с — его удельная теплоемкость, которая связана с молярной теплоемкостью соотношением 
. Учитывая это, формулу (1) запишем в виде
(2)
По теории Дебая, если условие Т выполнено, молярная теплоемкость определяется предельным законом
,
где R = 8,31 Дж/(моль·К) — молярная газовая постоянная; — характеристическая температура Дебая; Т — термодинамическая температура. Подставляя (3) в (2) и выполняя интегрирование, получаем
.
Подставляя числовые значения, находим
Ответ: 
= 0,36 Дж.
