Д) Оценка точности измерений по разностям двойных измерений

При выполнении топографо-геодезических работ одну и ту же величину часто измеряют дважды. Например, длины сторон теодолитного хода измеряют землемерной лентой прямо и обратно, горизонтальные углы - двумя полуприёмами и т.д. В этом случае оценку точности результатов измерений выполняют по разностям двойных измерений. При этом, если оценивают точность определения одной разностииз всей совокупности измерений, то вычисляют её среднюю квадратическую ошибку m _{d i} из соотношения, близкого по своему смыслу к формуле К. Гаусса, т.к. истинные ошибки разностей равны нулю

m _{d i} = = , (12)

где d _i - разности двойных измерений l _1, l_;

n - число двойных разностей.

Каждая разность образована как d _i = l ₁ - l ₂. Поэтому ср.кв.ош. одной разности d выражается формулой m ²_d = m ²_l + m²₂ . Так как измерения l равноточны, то m _l = m ₂ = m _l . Следовательно, m² _d = 2 m² _{l .} Отсюда m _d = m _l , а

m _l = m _d / . (13)

Подставив в формулу (12) соотношение для m _d (11), получим выражение для ср.кв.ош.. m _l отдельного измерения l _i по разностям двойных измерений

m _{l i} = . (14)

Из разности двойных измерений l ₁ и l ₂ обычно берут среднее значение

l ср. = , (15)

тогда согласно формуле (13)

m _{l ср.} = . (16)

Подставляя в формулу (16) выражение (14) для m _l, получим формулу для оценки точности среднего арифметического из всей совокупности измерений по разностям двойных измерений

m _{l ср.} = . (17)

Приведенные формулы (12), (14), (17) справедливы для случая, когда разности двойных измерений являются случайными ошибками (свободны от систематических ошибок), т.е. тогда, когда выражение = 0 или близко к нулю. Если это выражение заметно отличается от нуля, то формулы, приведенные выше для оценки точности результатов измерений по разностям двойных измерений, применять нельзя.

В этом случае необходимо определить систематическую ошибку по формуле

= (18)

и исключить её из каждой разности двойных измерений, вычислив величины по формуле

= d _i - . (19)

Значения ошибок являются по существу уклонениями разностей d _i от их арифметической средины , т.е. являются вероятнейшими ошибками. Следовательно, для оценки точности измерений по результатам двойных измерений может быть применена формула Бесселя.

В этом случае ср.кв.ош. определения одной разности m _{d i} из всей совокупности двойных измерений определяют по формуле

m _{d i} = . (20)

Средние квадратические ошибки определения отдельного результата измерения m _{l i} и среднего арифметического m _{l ср.} из всей совокупности измерений вычисляют из соотношений

m _{l i} = , (21)

m _{l ср.} = . (22)