2015-04-01
4914
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение. Построим чертёж
На отрезке 
график функции 
расположен над осью 
.
Ответ: 9 кв.ед.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и координатными осями.
Решение. Выполним чертеж:
Криволинейная трапеция полностью расположена под осью , её площадь можно найти по формуле: 
.
Ответ. 
Пример 3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
.
Решение. Выполним чертеж. Найдем точки пересечения параболы 
и прямой 
аналитически из уравнения:
Значит, нижний предел интегрирования 
, верхний предел интегрирования 
.
площадь соответствующей фигуры найдём по формуле:
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
Ответ: S=4,5 кв.ед.
Пример 4. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями 
вокруг оси 
.
Решение. Выполним чертёж.
Вычислим объем тела вращения, используя формулу:
Ответ: 
Пример 5. Дана плоская фигура, ограниченная линиями 
.
1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси 
.
|
|
|
Решение. Выполним чертёж:
Площадь фигуры находится как сумма площадей:
– на отрезке 
;
– на отрезке 
.
Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси .
На отрезке 
, поэтому:
Вычислим объем тела, образованного вращением фигуры, вокруг оси . Объем полученного тела вращения равен разности объемов 
.
Ответ. 
