Решение типовых задач. Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Построим чертёж

На отрезке график функции расположен над осью .

Ответ: 9 кв.ед.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

Решение. Выполним чертеж:

Криволинейная трапеция полностью расположена под осью , её площадь можно найти по формуле: .

Ответ.

Пример 3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Выполним чертеж. Найдем точки пересечения параболы и прямой аналитически из уравнения:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .

площадь соответствующей фигуры найдём по формуле:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.

Ответ: S=4,5 кв.ед.

Пример 4. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси .

Решение. Выполним чертёж.

Вычислим объем тела вращения, используя формулу:

Ответ:

Пример 5. Дана плоская фигура, ограниченная линиями .

1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .

Решение. Выполним чертёж:

Площадь фигуры находится как сумма площадей:
– на отрезке ;

– на отрезке .

Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси .

На отрезке , поэтому:

Вычислим объем тела, образованного вращением фигуры, вокруг оси . Объем полученного тела вращения равен разности объемов .

Ответ.