Площадь плоской фигуры

Лекционное занятие. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть фигура в плоскости ограничена линиями , причем непрерывная неотрицательная функция на (рис. 1). Разобьем отрезок на частичных отрезков с длинами . Через точки деления проведем вертикальные прямые, которые разделят фигуру на

Рис. 1

вертикальных полосок. Каждую -ю вертикальную полоску заменим прямоугольником с основанием, равным , и высотой, равной , где − произвольно выбранная точка на -м частичном отрезке. Площадь такого прямоугольника

Суммируя площади всех прямоугольников, получим

Площадь заданной фигуры определяется как предел полученной суммы при стремлении к нулю . Мы получили предел интегральной суммы непрерывной функции по отрезку , то есть интеграл . Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями , при условии, что , вычисляется по формуле

или .

Пример 1. Вычислить интеграл

Рис. 2

Решение. Интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной линиями , , . Построим эти линии, учитывая, что уравнение определяет ту часть окружности , где (рис. 2). Полученная фигура есть четверть круга с площадью . Таким образом,

Перейдем к более общему случаю. Пусть фигура в плоскости ограничена линиями причем на (рис. 3). Как и в предыдущем случае, можно получить следующую формулу для площади такой фигуры:

Иногда вычисления значительно упрощаются, если поменять ролями оси и . Пусть фигура в плоскости ограничена линиями , причем на отрезке (рис. 4). Тогда

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Рис. 4

Решение. Построим заданные линии и заштрихуем фигуру, ограниченную этими линиями (рис. 5). Снизу фигура ограничена линией , сверху – линией , . Для вычисления площади фигуры воспользуемся формулой (7.11):

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Рис. 5

Решение. Уравнение или определяет параболу с вершиной , осью симметрии − осью OX (рис. 6). Уравнение определяет прямую, проходящую через точки , . Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений: , . Получим точку и точку .

Вычислим площадь фигуры по формуле. Для этого нужно записать уравнения кривых, ограничивающих фигуру, в виде, разрешенном относительно . Слева фигура ограничена дугой параболы CAB, на которой , справа – отрезком прямой BC, на котором ; y меняется от до . Поэтому по формуле имеем