double arrow

Позиционные системы счисления


Совокупность правил записи чисел называется системой счисления. Наиболее часто используются позиционные системы счисления, в которых целое положительное число записывается в виде последовательности символов enen-1...ep...e2e1, а вес каждого символа ер определяется его позицией в записи числа. В дальнейшем будут использоваться только позиционные системы счисления, в которых вес символа ер равен q р-1, где q - основание системы счисления, а ер = 0, 1,..., q − 1. Тогда любое целое положительное число Е в системе счисления с основанием q можно записать в виде
Е = (en...ep..., e1)q = en q n - l+...+ ep q р – l +...+ e1 q 0 = . При вычислении суммы полагаем, что все значения ер и q р-l представлены в привычной десятичной системе счисления.

Максимальное n-разрядное число получается при ep = q − 1 для всех р: . Из этого следует, что существует qn различных n-разрядных чисел (с учетом нуля). В таблице 4.1 показан перевод 16 чисел из одной системы в другую при наиболее часто используемых основаниях систем счисления q = 2, 10, 8, 16.

Таблица 4.1 - Перевод 16 чисел из одной системы в другую

q = 2 q = 10 q = 8 q = 16
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1   0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1   1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1   1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1                 A B C D E F

Перевод чисел из системы счисления с произвольным основанием q в десятичную систему счисления (q = 10) выполняется по приведенным формулам, для чего требуется перевести в десятичную систему счисления только числа ер и q. Несколько сложнее произвести перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q ≠ 10. Наиболее просто такой перевод выполняется для q = 2, 8, 16. Пусть требуется перевести число (1987)10 в указанные системы счисления. Перевод осуществляется последовательным делением числа, заданного в десятичной системе счислений, на q = 8:




Таким образом, (1987)10= (3703)8. Для перевода полученного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую цифру представить в двоичном коде: (3703)8 = (011.111.000.011)2. Перевод полученного двоичного числа в 16-ричную систему счисления выполняется его разбиением на тетрады (тетрада - четыре разряда) и переводом каждой тетрады в 16-ричную систему счисления: (0111. 1100. 0011)2= (7С3)16. Итак, получили (1987)10=
= (3703)8= (11111000011)2= (7С3)16.

Для обозначения произвольных десятичных чисел используются символы i, j и тому подобное, а двоичные числа записываются в виде еп...ер...е1, где ер= 0 или 1. Равенства для десятичных и двоичных чисел записываются, опуская индекс, указывающий основание системы счисления i = еп ...ер ...е1.







Сейчас читают про: