Приближенные методы анализа линейных цепей

6.3.1. Приближенный спектральный метод

Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффективная ширина спектра сигнала значительно отличается от ширины полосы пропускания цепи . Другими словами, данный метод используется при расчете прохождения узкополосного сигнала через широкополосную цепь () и при прохождении широкополосного сигнала через узкополосную цепь ().

а. Прохождение узкополосного сигнала через широкополосную цепь

Данная проблема представляет практический интерес в связи с тем, что сигналы помех, воздействующие на реальную радиотехническую цепь, часто относятся к классу узкополосных.

Рассмотрим широкополосную цепь с частотной характеристикой . На вход цепи поступает узкополосный сигнал со спектральной плотностью , амплитудный спектр которого сосредоточен в небольшой области вокруг центральной частоты (рис.6.3,а).

Рис. 6.3. Иллюстрации к приближенному спектральному методу

Выходной сигнал рассматриваемой цепи равен

.

В общем случае вычисление этого интеграла может вызвать определенные трудности. Однако если учесть условия задачи, то расчет можно упростить.

Как следует из рис.6.3,а, в пределах амплитудного спектра амплитудно-частотная, а также фазочастотная характеристики цепи изменяются незначительно. Поэтому можно записать

,

где – значение АЧХ на частоте .

Тогда

;

.

Окончательно получаем .

Вывод.

Узкополосный сигнал на выходе широкополосной цепи не изменяется по форме. Изменяется только амплитуда сигнала и возможен сдвиг по фазе. Такой вывод можно сделать непосредственно из рис. 6.3,а. Широкополосная цепь практически без искажения пропускает все спектральные составляющие, пропорционально изменяя их амплитуды и сдвигая на одинаковую величину по фазе.

б. Прохождение широкополосного сигнала через узкополосную цепь

Данная проблема также представляет практический интерес в связи с тем, что работа цепи часто происходит при наличии импульсных помех. Эффективная ширина спектра таких помех может значительно превышать ширину полосы пропускания цепи.

Рассмотрим узкополосную цепь с частотной характеристикой , на вход которой поступает широкополосный сигнал со спектральной плотностью . Узкополосная цепь способна выделять спектральные составляющие входного сигнала, сосредоточенные только в небольшой области вокруг центральной частоты .

Как видно из рис. 6.3,б,в пределах полосы пропускания цепи амплитудный спектр сигнала изменяется незначительно. Поэтому можно записать

,

где – значение амплитудного спектра входного сигнала на частоте .

Тогда

;

.

Окончательно получаем .

Вывод.

Реакция узкополосной цепи на широкополосный сигнал определяется только импульсной характеристикой цепи. Входной сигнал по существу не влияет на выходной сигнал. Такой вывод можно сделать непосредственно из рис. 6.3,б. Узкополосная цепь пропускает спектральные составляющие входного сигнала только в пределах своей амплитудно-частотной характеристики, которой во временной области соответствует импульсная характеристика.

6.3.2. Метод комплексной огибающей

В процессе обработки сигналов при передаче сообщений не обязательно полностью сохранять структуру сигнала, достаточно лишь сохранить закон изменения того параметра (амплитуду, частоту, фазу), в котором заключена передаваемая информация. Этот факт создает условия для упрощения методов анализа прохождения сигналов через линейные цепи.

Радиосигналы, используемые для передачи информации, относятся к классу узкополосных. Для анализа прохождения таких сигналов через узкополосные цепи можно использовать понятие аналитического сигнала, имеющего, как известно, следующий вид

.

Здесь – сигнал, полученный из исходного сигнала с помощью преобразования Гильберта; – комплексная огибающая, которая содержит информацию о законах изменения амплитуды и фазы колебания.

Таким образом, решаемая задача сводится по существу к анализу результата преобразования комплексной огибающей входного сигнала при прохождении его через линейную цепь. Задачу в такой постановке можно решить спектральным и временным методами.

a. Спектральный метод для комплексной огибающей

Задача решается с использованием обозначений для аналитических сигналов и соответствующих спектральных плотностей, приведенных на рис. 6.4.

, ;

; ;

; ;

; .

Рис. 6.4. Обозначения сигналов и спектров

В общем случае центральная частота АЧХ цепи не совпадает с центральной частотой амплитудного спектра сигнала (рис. 6.5). Однако для простоты рассуждений можно положить, что эти частоты равны. Полученный результат затем нетрудно будет скорректировать для более общего случая.

Рис. 6.5. Амплитудные спектры сигналов и АЧХ цепи

В соответствии со спектральным методом можно записать

.

Известна связь между спектром аналитического сигнала и спектром комплексной огибающей, которая устанавливается соотношением

.

Тогда

.

Введем новую переменную . В этом случае выражение для примет вид

.

Учитывая, что и изменяя обозначение на , можно записать

,

где – частотная характеристика низкочастотного аналога цепи.

Данное выражение является обратным преобразованием Фурье от спектра комплексной огибающей сигнала на входе цепи. Это позволяет записать следующее выражение для этого спектра:

. (6.5)

Как видно из полученного выражения, определение спектральной плотности комплексной огибающей выходного сигнала осуществляется путем умножения спектральной плотности комплексной огибающей входного сигнала на частотную характеристику низкочастотного аналога цепи (см. спектральный метод анализа).

Обобщая полученный результат, отметим, что таким же образом можно получить спектр (разложение в ряд Фурье) комплексной огибающей периодического сигнала. При этом необходимо иметь в виду, что спектр периодического сигнала на выходе линейной цепи получается перемножением спектра входного сигнала на значения частотной характеристики низкочастотного аналога цепи на соответствующих частотах.

Таким образом, можно предложить следующую последовательность определения выходного сигнала рассматриваемым методом:

1. Определение входного аналитического сигнала .

2. Вычисление спектра комплексной огибающей входного сигнала по формуле прямого преобразования Фурье.

3. Определение частотной характеристики низкочастотного аналога цепи .

4. Расчет спектра комплексной огибающей выходного сигнала по формуле (6.5).

5. Определение комплексной огибающей выходного сигнала по формуле обратного преобразования Фурье.

6. Определение выходного аналитического сигнала по формуле , в результате чего определяется выходной сигнал .

Вычисления по данной методике для узкополосных сигналов и цепей значительно проще, чем при непосредственном определении .

Заметим, при наличии расстройки центральных частот амплитудного спектра сигнала и АЧХ цепи в пределах ее полосы пропускания, т.е. при (рис. 6.5) частотная характеристика низкочастотного аналога цепи будет иметь вид .

б. Временной метод для комплексной огибающей

Импульсная характеристика реальной цепи связана с частотной характеристикой следующей зависимостью:

.

Аналитическая функция импульсной характеристики – это комплексное число вида , в котором – преобразование Гильберта от . С другой стороны, учитывая связь между спектром сигнала и спектром соответствующего аналитического сигнала, можно записать следующее выражение для аналитической функции импульсной характеристики:

Следовательно, .

Введем новую переменную . В этом случае выражение для примет вид

.

При значение , поэтому нижний предел интегрирования можно изменить на . Таким образом,

.

Учитывая, что и изменяя обозначение на , можно записать

,

где – импульсная характеристика низкочастотного аналога узкополосной цепи.

Для определения комплексной огибающей выходного сигнала цепи, воспользуемся полученным ранее соотношением

и свойствами преобразования Фурье.

Известно,

.

Следовательно, можно записать окончательное выражение для комплексной огибающей выходного сигнала цепи

. (6.6)

Таким образом, комплексная огибающая выходного сигнала цепи равна свертке комплексной огибающей входного сигнала и импульсной характеристики низкочастотного аналога узкополосной цепи.

Можно предложить следующую последовательность определения выходного сигнала временным методом для огибающей:

1. Определение входного аналитического сигнала .

2. Определение импульсной характеристики низкочастотного аналога цепи.

3. Определение комплексной огибающей выходного сигнала по формуле (6.6).

4. Определение выходного аналитического сигнала по формуле , в результате чего определяется выходной сигнал .

Вычисления по данной методике эффективны в тех случаях, когда временные характеристики сигналов и цепей определить более просто, чем частотные.

6.3.3. Метод мгновенной частоты

Метод мгновенной частоты используется для анализа прохождения сигналов с угловой модуляцией через избирательные цепи. Рассмотрим данный метод в общих чертах. Более подробно с содержанием метода можно ознакомиться в [1,2].

Спектр сигналов с угловой модуляцией имеет достаточно сложную структуру даже при простом модулирующем сигнале (например, при модуляции гармоническим колебанием). Неравномерность АЧХ и ФЧХ цепи приводит к нарушению амплитудных и фазовых соотношений между многими спектральными составляющими, следствием чего может быть искажение закона модуляции.

Рассмотрим прохождение сигнала с угловой модуляцией

через узкополосную цепь с центральной частотой и частотной характеристикой

.

При малых в спектре сигнала мало составляющих. Поэтому поставленную задачу можно решить спектральным методом для комплексной огибающей.

При больших решение задачи усложняется. Используется приближенный метод, в основу которого положено допущение о том, что частота сигнала с угловой модуляцией изменяется в зависимости от времени медленно. Для этого необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Период модулирующего колебания должен быть значительно больше постоянной времени цепи . Известно, что , где – полоса пропускания цепи на уровне . Следовательно, ; ; , т.е. частота модулирующего колебания должна быть меньше полосы пропускания цепи.

2. При постоянной частоте скорость изменения частоты модулированного колебания зависит от амплитуды модулирующего сигнала, т.е. от девиации частоты. Следовательно, девиация частоты модулированного колебания не должна выходить за пределы полосы пропускания, т.е. .

При соблюдении этих условий стационарные колебания на выходе цепи устанавливаются почти одновременно с изменением частоты сигнала, т.е. мгновенно (отсюда и название метода). При этом основные параметры колебания можно без большой погрешности определить по АЧХ и ФЧХ цепи.