Метод комплексных амплитуд

Расчет линейных электрических цепей переменного тока

Учебно-методическая разработка к выполнению контрольных заданий

Г. Пенза 2005 г.

УДК 621.3.024

Р 24.

Даны методические указания к выполнению расчетно-графических работ по анализу цепей переменного тока.

Работа выполнена на кафедре «Электроника и электротехника» Пензенской государственной технологической академии и предназначена для студентов специальностей 2201, 2102, 1201, 0706, 1706, 3302, 0305.

Ил. 14, табл. 5, библ. назв. 3.

Составители: Ю.А. Смагин, Л.М. Вдовина, Фролов Г.В.

Рецензент: Зав. каф. «ВМиС» ПГТА, процессор Сальников И.И.

Общие методические указания

Расчет линейных цепей переменного тока сводится к расчету токов в ветвях и напряжений на отдельных участках цепи. При одном источнике электрической энергии в схеме основными расчетными уравнениями являются уравнения, составленные на основе законов Ома и Кирхгофа.

Широкое распространение на практике получил метод комплексных амплитуд, использующий алгебру комплексных чисел и позволяющий применять все методы расчетов цепей постоянного тока к цепям переменного тока.

Метод комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд основан на представлении синусоидальных функций через экспоненты с мнимым аргументом. Аналитически комплексное число можно представить в алгебраической, тригонометрической и показательной форме:

где и - вещественная и мнимая составляющая, - модуль комплексного числа, - аргумент комплексного числа.

Геометрически комплексное число представляется вектором на комплексной плоскости с прямоугольными (рис. 1) или полярными координатами (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Модуль и аргумент комплексного числа можно найти из прямоугольного треугольника (рис. 1):

; .

Разложим по формуле Эйлера выражение :

Мнимая часть этого выражения является синусоидально-изменяющимся напряжением:

На плоскости комплексная амплитуда изображается вектором, аргумент которого равен начальной фазе , а длина пропорциональна вещественной амплитуде (рис. 3).

Рис.3

Комплекс действующего значения равен комплексной амплитуде, деленной на .

Комплексное сопротивление представляет собой отношение комплексных амплитуд напряжения и тока:

- активное сопротивление;

- модуль реактивного сопротивления;

- модуль индуктивного сопротивления;

- модуль емкостного сопротивления;

- модуль комплексного сопротивления.

Закон Ома для цепи синусоидального тока запишется в виде: ,

где - комплекс действующего значения тока;

- комплекс действующего значения э.д.с.;

- комплексное сопротивление.

Первый закон Кирхгофа для цепи синусоидального тока записывается, как .

Алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов, сходящихся в узле, равна нулю.

Второй закон Кирхгофа выражается, как

Алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд э.д.с. источников этого контура.

В таблице 1 приведены элементы , , , уравнения для мгновенных значений и , связь между ними, закон Ома, векторные диаграммы.

Таблица 1.

	Резисторный	Индуктивный	Емкостной
Мгновенные значения и .	.	.	.
Связь между и .	; ; .	; ; .	; ; .
Закон Ома в комплексной форме.	или , где - комплексное сопротивление; - комплексная проводимость.	или , где - индуктивное сопротивление.	или , где - емкостное сопротивление.
Векторная диаграмма , .	.	; .	; .