2015-05-05
899
1) Для одной и той же функции и конкретного разбиения верхняя сумма Дарбу всегда не меньше, чем нижняя: 
.
2) При измельчении разбиения, то есть при добавлении новых точек к исходному разбиению, верхние суммы Дарбу для одной и той функции
не увеличиваются, а нижние суммы Дарбу не уменьшаются.
3) Для одной и той же функции и любых разбиений 
и 
верхняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , не меньше, чем нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению :
.
Доказательства этих свойств можно найти в литературе.
Зафиксируем некоторое разбиение 
. Рассмотрим семейство всех верхних сумм Дарбу 
. В силу свойства 3) сумм Дарбу,
, то есть множество всех верхних сумм Дарбу ограничено снизу, поэтому существует конечная точная нижняя грань у этого множества и эта величина называется верхним интегралом Римана от функции 
по отрезку 
: 
.
Аналогично существует конечная точная верхняя грань у множества всех нижних сумм Дарбу и эта величина называется нижним интегралом Римана от функции по отрезку : 
.
Определение. Если верхний интеграл равен нижнему, то функция является интегрируемой по Риману на отрезке и интеграл Римана равен любому из этих значений. То есть из равенства
следует, что 
и выполняется равенство
.
