Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть задана – непрерывная функция на отрезке , эта функция неотрицательна, то есть .

Криволинейная трапеция – это

фигура, которая ограничена снизу осью , сверху графиком

непрерывной неотрицательной

функции , по бокам вертикальными прямыми , .

Рассмотрим произвольное разбиение T

отрезка точками

.

Выберем точки внутри каждого частичного отрезка разбиения. Произведение значения функции в точке на длину частичного отрезка геометрически является площадью прямоугольника с основанием и длиной высоты . Тогда интегральная сумма Римана представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из таких прямоугольников. При измельчении разбиения, то есть при , площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции:

.

Геометрический смысл определённого интеграла.

Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции

на отрезке равен площади криволинейной трапеции, лежащей под графиком этой функции .

Иногда можно вычислить определенный интеграл, пользуясь только его геометрическим смыслом.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция непрерывна и положительна на отрезке

. Тогдавеличина интеграла равна площади фигуры под графиком этой функции. Эта фигура является обычной трапецией, по формуле площади трапеции находим

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогдавеличина интеграла равна площади фигуры под графиком этой функции. Эта фигура является четвертью круга радиуса .

По формуле площади круга, находим значение интеграла

.