Равномерная сходимость

12 13 14 15 16 17 18

Пусть (не зависящее от ): начиная с номера (здесь ). Тогда говорят, что функциональный ряд (1) сходится к

Кратко записывают: .

Теорема 1. (критерий Коши равномерной сходимости).

Ряд сходится на равномерно к (не зависящее от ):

() для ,

БИЛЕТ 33.

Теорема 1 (признак Вейерштрасса).

(1), . Пусть существует сходящийся числовой ряд (А) и

Тогда функциональный ряд (1) сходится на равномерно.

Теорема 2 (признак Абеля-Дирихле равномерной сходимости).

Пусть:

1). при , не возрастает.

2). равномерно огр. на .

Тогда ряд сходится равномерно на .

Теорема 3 (признак Дини).

1). непрерывны на

2). на

3). непрерывна на .

Тогда ряд сходится равномерно на .

БИЛЕТ 34.

(1)

Теорема 1 (о непрерывности суммы функционального ряда).

Пусть:

1). определена в , непрерывна в точке

2). Ряд (1) сходится равномерно в .

Тогда сумма функционального ряда: непрерывна в точке . Если же непрерывна

, то непрерывна на

БИЛЕТ 35.

Теорема (о почленном интегрировании).

Пусть 1) - непрерывны на

2) Ряд сходится равномерно на .

Тогда : .

БИЛЕТ 36.

Теорема (о почленном дифференцировании).

(1) (1’)

Пусть: 1) непрерывна на

2) Ряд сходится равномерно на .

3) сходится на .

Тогда: на .

БИЛЕТ 37.

Определение: Ряд вида называется степенным рядом, - некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

- обобщенный степенной ряд.

Теорема (Абеля). (1). Пусть ряд (1) сходится при . Тогда он сходится . Пусть ряд (1) расходится при . Тогда ряд расходится .

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда).

. единственное число (или : степенной ряд сходится при и расходится при . Если , то степенной ряд сходится всюду.

Области сходимости:

дположим, ряд сходится в точке нателе Ряд сходится.

где

Нельзя определенно сказать что-либо о точках - может быть и сходимость и расходимость.

БИЛЕТ 38.

радиус сходимости степенного ряда

Теорема: Пусть ограниченное число . Тогда:

(1), (2)

БИЛЕТ 39.

(1)

Теорема 1. Пусть . Тогда степенной ряд (1) сходится равномерно в .

Теорема 2 (о непрерывности суммы степенного ряда).

Пусть . Тогда сумма степенного ряда непрерывна.

БИЛЕТ 40.

(1)

Теорема 1. Пусть . Тогда . Более того, радиус сходимости ряда, полученного после почленного интегрирования, не изменится .

Теорема 2. Пусть . Тогда степенной ряд можно дифференцировать почленной в точке . Более того, ряд из производных имеет тот же радиус сходимости, что и исходный.

Теорема (о почленном дифференцировании функционального ряда).

Напоминание:

: 1) сходится 2) непрерывны. 3). сход. равномерно в .

Все эти условия выполнены можно почленно дифференцировать степенной ряд в и в точке . Более того, получили, что .

Следствие: степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать сколько угодно раз в области (интервале) сходимости . При этом не изменяется.

БИЛЕТ 41.

(1).

Определение: Говорят, что функция может быть разложена в степенной ряд в , если степенной ряд вида (1), сходящийся к в .

Утверждение 1. Пусть может быть разложена в степенной ряд в . Тогда производные всех порядков у функции в .

Утверждение 2. Разложение функции в степенной ряд единственно.

Замечание: (**). ().

Определение: ряд в правой части равенства (**) называется рядом Тейлора для функции .

БИЛЕТ 42.

Теорема 1. (о необходимом и достаточном условиях разложимости в ряд Тейлора).

Пусть 1) функция имеет производные порядка в .

2) остаточный член формулы Тейлора при

Тогда может быть разложена в ряд Тейлора вида (**) в .

Теорема 2. (о достаточных условиях разложимости функции в ряд Тейлора).

Пусть 1) . 2).

Тогда функция может быть разложена в ряд Тейлора в .

БИЛЕТ 43.

1).

3).

4). , , - ненатуральное число.

5).

БИЛЕТ 44.

Определение 1. Обозначим через множество функций, интегрируемых с квадратом на . .

Определение 2. ,

- скалярное произведение. - норма функции .

, если .

Определение 3. в . Говорят, что система является ортогональной системой, если при . ОС- ортогональная система.

Определение 4. ОС называется ортонормированной системой (ОНС), если . Нормировать ОС: .

БИЛЕТ 45.

. .

Определение: Говорят, что сходится в среднем к в , если

при . ( при ).

Утверждение. Пусть на отрезке . Тогда сходится к в среднем на отрезке

БИЛЕТ 46.

- ОНС в . .

Пусть . Приближаем функцию функциями

- ОНС в . .

(тождество Бесселя).

Минимальное свойство коэффициентов Фурье:

Если в качестве взять коэффициенты Фурье , то величина становится минимально возможной. ()

- неравенство Бесселя.

БИЛЕТ 47.

Определение:

ОНС называется замкнутой системой в , если .

, .

Утверждение 1. Пусть - замкнутая ОНС в . Тогда неравенство Бесселя переходит в равенство: (равенство Парсеваля)

Утверждение 2. Пусть ОНС замкнута в . Тогда ряд Фурье функции сходится в среднем к в .

БИЛЕТ 48.

Определение: ОНС называется полной в , если не существует , такой что ,

Утверждение 1: Пусть - замкнутая. Тогда - полная ОНС.

Утверждение 2: Пусть - полная (тем более замкнутая) ОНС в . Тогда 2 различные функции , не могут иметь совпадающих рядов Фурье.

БИЛЕТ 49.

Тригонометрическая система функций:

(*).

Было доказано:

Теорема: Тригонометрическая система функций (*) является ОНС в

БИЛЕТ 50.

Определение 1. Говорят, что функция с имеет период , если выполнено:

1) .

2) .

Определение 2. Ряд вида называется тригонометрическим рядом Фурье. , , , - коэффициенты Фурье.

Теорема 1. Пусть имеет , (*). Пусть ряд сходится равномерно на всей оси. Тогда: , ,

БИЛЕТ 51.

Определение: Функция называется кусочно-монотонной на , если можно разбить множество на отрезки точками так, что на каждом из отрезков функция будет являться монотонной.