Свободные колебания без учёта сопротивления

При направлении оси вверх имеем следующее выражение дифференциального уравнения этих колебаний:

где – упругая восстанавливающая сила опор платформы при дополнительном смещении платформы вниз на величину .

После подстановки величины в дифференциальное уравнение получим:

С учётом условия начального равновесия:

получим следующее выражение дифференциального уравнения:

или

,

где .

Дифференциальное уравнение свободных колебаний платформы можно записать в следующем виде:

где – квадрат круговой частоты свободных колебаний, 1/с²:

Из теории дифференциальных уравнений общее решение этого уравнения имеет вид:

Из начальных условий имеем при :

Отсюда:

В итоге получаем уравнение – закон свободных колебаний платформы без учёта сил сопротивления:

Для численного решения дифференциального уравнения второго порядка свободныеколебания без учёта сил сопротивления удобно преобразовать его к системе из двух уравнений первого порядка. Для этого обозначим:

Тогда получим следующую систему:

Начальные условия для интегрирования этой системы:

6.2 Свободные колебания с учётом сопротивления.

В этом режиме сила сопротивления среды, пропорциональна скорости движения платформы:

где – коэффициент вязкости среды, Н/(м/с).

С учётом фактора сопротивления дифференциальное уравнение свободных колебаний платформы записывается в следующем виде:

или

Обычно данное дифференциальное уравнение приводят к виду:

где – коэффициент сопротивления среды, .

Из сравнения двух видов дифференциальных уравнений получаем:

или

Единица измерения величины :

Так как Н = кг ∙ м / с², то получаем:

Из теории дифференциальных уравнений общее решение полученного дифференциального уравнения имеет вид:

где ,

и – начальные амплитуда и фаза колебаний, определяемые из начальных условий.

Это дифференциальное уравнение получено из общего решения, записанного в виде:

где постоянные интегрирования и представляются в виде:

Тогда:

Отсюда по известной формуле тригонометрии для синуса суммы двух углов и получается первоначально приведённое общее решение дифференциального уравнения. Из начальных условий имеем при :

Из равенства

получаем:

Из выражений

получаем:

При начальных условиях колебаний платформы, а именно:

имеем:

стремится к бесконечности, значит

При найденных величинах и решение дифференциального уравнения свободных колебаний платформы с учётом сил сопротивления имеет вид:

Для численного решения дифференциального уравнения второго порядка свободных колебаний платформы с учётом сил сопротивления это уравнение заменяется системой из двух уравнений первого порядка по аналогии с режимом свободных колебаний без учёта сил сопротивления:

Для сравнения процессов затухания при расчёте используются два значения коэффициента затухания :

1) при из исходных данных,

2) при .