Силлогистика

СИЛЛОГИСТИКА (от греч. о-иМоуготьхбд — выво­дящий умозаключение) — теория дедуктивного вы­вода, оперирующая высказываниями (суждениями) определенной субъектно-предикатной структуры: о б-щеутверд и тельными — «Всякое S есть Р», общеотрицательными — «Ни одно S не есть Р», частноутвердительными — «Некоторое S есть Р» и ч а с т н о о т р и ц а т е л ь-н ы м и — «Некоторое S не есть Р». Здесь буквы S, Р обозначают различные общие термины (напр., «человек», «треугольник» и т. п.), входящие в силло­гизм (термины силлогизма), а выражения «Всякое... есть...» (условно обозначаемое буквой А), «Ни одно... не есть...» (Е), «Некоторое... есть...» (/), «Некоторое... не есть...» (О) являются постоянными логич. отноше­ниями, связывающими эти термины в высказывание.

В С. выясняются общие условия, при к-рых из од­ного, двух и более высказываний — посылок указан­ной структуры — с необходимостью следует нек-рое новое высказывание — заключение той же структуры, и условия, при к-рых такое следование не имеет места. В случае следования заключения лишь из одной по­сылки мы имеем непосредств. силлогистич. вывод (см. Непосредственное умозаключение); в случае же следования заключения из двух посылок мы имеем собственно силлогизм (или категорич. силлогизм,

в отличие от условных, разделительных и нек-рых др. умозаключений, также нередко называемых силло­гизмами). По своему строению все (категорич.) силло­гизмы подразделяются на силлогизмы 4 фигур; в пре­делах каждой фигуры выделяются различные модусы (формы) силлогизма (см. Силлогизм).

Одна из задач С.— выяснить, какие модусы каждой из фигур силлогизма являются правильными умо­заключениями, а какие — неправильными и почему. Обоснование правильных модусов силлогизма обычно проводится путем сведения их к правильным модусам первой фигуры. Это достигается путем обращения высказываний силлогизма, перестановки его посылок и применения особого способа косвенного доказательст­ва — доказательства от противного. В С. можно выде­лить также задачу рассмотрения различных видов сложных силлогизмов, в к-рых заключение сле­дует из более чем двух посылок (см. Полисиллогизм), и др.

Примерно в таком понимании ее предмета и объема встающих в ней задач С. была разработана еще Ари­стотелем (см. Древнегреческая логика). Она явилась исторически первой логич. теорией дедуктивного рас­суждения и послужила отправным пунктом для раз­вития формальной, логики. В школе перипатетиков, в работах древнеримских, византийских и арабских философов и логиков, в схоластич. логике С. уточня­лась и детализировалась, оставаясь вместе с тем в рамках, очерченных еще аристотелевским «Органо­ном». Вплоть до 17 в. она считалась совершенной в своей законченности и чуть ли не единственно воз­можной логич. теорией и в многочисл. школьных пособиях по логике дожила до нашего времени, со­ставляя традиционный логич. элемент гуманитарного образования.

Являясь строго и систематически построенной теорией, С. вместе с тем недостаточна для описания всех видов дедуктивного рассуждения. Уже гибкость и точность рассуждений древнегреч. математиков ра­зительно контрастируют с узостью схем силлогистич. умозаключений, к-рыми они (вообще) мало интересо­вались. Силлогизм естественно считать выражающим структуру рассуждений, связанных (гл. обр.) с клас­сифицирующей деятельностью мышления, вычленя­ющего в рассматриваемых объектах (прежде всего) родовидовые связи. В философской и логич. литера­туре неоднократно развивалась критика С, связан­ная с новыми аспектами и подходами к исследованию структур и форм мыслительной деятельности. • Важ­ный перелом в такой оценке связан с эпохой Воз­рождения, когда развитие опытного и вместе с тем математизированного естествознания выдвинуло за­дачу обоснования своей методологии. Критика С. здесь развивается и с рационалистических, и с эмпи-рич. позиций. С одной стороны, Р. Декарт, как бы подытоживая всю незначительность для математики правил силлогистич. дедукции, отказывается от них как от эффективных канонов науч. исследования и выдвигает в противовес им свои «правила для руко­водства ума». С др. стороны, Ф. Бэкон возражает против силлогизма как средства доказательства, к-рое, по его словам, действует неупорядоченно и упускает из рук природу. Правда, он не сомневается, что в сил­логизме заключена некая математическая достовер­ность, однако основную проблему «Нового Органона» он видит в разработке индуктивного метода, должен­ствующего предоставить в распоряжение возможной дедукции ясные, определенные и соответствующие природе изучаемых объектов понятия.

Недостаточность С. обнаружилась и в ходе развития самой формальной логики. Существ, роль здесь сыгра­ли исследования по матем. обработке С.— по ее ариф-метич. интерпретации, алгебраическому и геометрич.

СИЛЛОГИСТИКА

(или топологич.) представлению, к-рые проводились, начиная с работ Лейбница, мн. философами, логиками и математиками (см. Н. И. Стяжкпн, Становление идей математической логики, М., 1964). Со 2-й поло­вины 19 в. в математике важное значение приобрели исследования по ее логич. основаниям, что явилось мощным стимулом для новых логич. изысканий. Сло­жившаяся в этой связи. математическая логика со­держала гораздо более общие, чем С., логич. системы — логику высказываний и предикатов исчисление и вместе с тем выработала строгие методы самого логич. исследования. С т. зр. этих систем и методов обнару­жились как узость и частность силлогистич. теории дедукции, так и несовершенство ее формального по­строения в традиц. логике.

В совр. формальной (математич.) логике результаты С. могут быть получены в исчислении предикатов, если специфические силлогистич. понятия выразить в понятиях этого исчисления — силлогистич. терми­ны истолковать как одноместные предикаты, пристав­ки «всякое» и «некоторое», соответственно, как кван­торы общности и существования, а отношение «при­сущности» определить через (материальную) импли-.. кацию и конъюнкцию. Тогда, напр., «Всякое S есть Р» примет вид ух (S(x) zi Р(х)), а «Некоторое S есть Р» — вид з^ж (S(x)&P(x)). При этом, поскольку сил­логистич. высказывания носят экзистенциальный ха­рактер, т. е. не только частные, но и общие из них предполагают существование объектов, охватываемых терминами этих высказываний, при выводе нек-рых модусов силлогизма в исчислении предикатов следует добавлять к числу посылок допущение непустоты нек-рого предиката (см. Пустое); в противном случае в исчислении предикатов выразима не вся С. (см. Антилогизм).

Весьма удачный способ формализации С, сохра­няющий своеобразие последней и вместе с тем впи­сывающий ее в общий ансамбль совр. матем. логики, был предложен Лукасевичем в 1939 (см. рус. пер. его книги «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики», М., 1959). У Лукасевича С. является расширением исчисления высказываний за счет введения в его аксиоматику след. аксиом, выражающих специфически силлоги­стич. отношения: (I) Ааа; (II) Iaa; (III) (Abc&Aab)Zi ZDAac; (IV) (Abc&Iba)z21 ас (где а, Ь, с — термины силлогизма) и правил вывода из этих аксиом. Логич. отношение Е и О определяются через А, I и знак отрицания: (V) ЕаЬ = -л lab, (VI) Oab= -л Aab. Из ак­сиом I — IV и выводимых формул исчисления вы­сказываний выводятся с помощью правил этого ис­числения и определений V — VI все модусы силло­гизма и все законы, относящиеся к силлогистич. высказываниям. Напр., для вывода закона обраще­ния Iabzzlba в закон исчисления высказывания (х&уэ z)3 (aO (j/Z3 z)) делается подстановка х/АЬс (Abe подставляется на место х), y/Iba, z/Iac и из по­лученного выражения и аксиомы IV по правилу modus ponens получается Abcz>(Ibai)Iac); сделав в этой формуле подстановку Ь/а, с/а, а/b, мы из полученного выражения и аксиомы I по тому же правилу выводим lab^Iba.

Построенная Лукасевичем система С. непротиворе­чива (см. Непротиворечивость). Это можно показать путем ее интерпретации в области логики высказы­ваний, если термины силлогизма рассматривать как пропозициональные переменные (переменные для вы­сказываний), а выражения Aab и lab интерпретиро­вать соответственно как (azD a)&(bz>b) и (azia)z> Zi(bZ2b). При этом аксиомы I — IV и все выражения системы, получаемые из них согласно допущенным правилам вывода и определениям, обращаются в тож­дественно-истинные предложения логики высказы-

ваний. Вместе с тем система С. не полна (см. Полнота) даже в том (синтаксическом) смысле, что не стано­вится противоречивой, если к аксиомам I — IV при­соединить в качестве дополнит, аксиомы нек-рое невыводимое в С. выражение, напр. неправильный модус второй фигуры (Ecb&Eab)^Aac. Действитель­но, использовав ту же интерпретацию системы, мы убеждаемся, что это выражение обращается в тож­дественно-истинное. Поэтому расширенная за его счет аксиоматика I — IV непротиворечива. В работах Я. Лукасевича и Я. Слупецкого для описанной выше формализованной С. решена также разрешения проблема.

С. можно построить и как натуральное исчисление. В этом случае нек-рое органич. число форм силло­гистич. вывода принимается в качестве исходных пра­вил вывода и определяются правила, порождающие из одних правил вывода другие (производные от первых) правила вывода (что и позволяет переходить от одних силлогистич. выводов к другим) (см., напр., В. А. Смир­нов, Замечания по поводу системы силлогистики и общей теории дед¥кции, в кн.: Проблемы логики, М., 1963).

Одним из способов построения логич. теорий яв­
ляется функционально-алгебраич. способ, когда изу­
чаемые логич. объекты и связи между ними (операции
над объектами) рассматривают как определенную ал-
гебраич. систему, используя, т. о., в логике тот или
иной уже разработанный (или же специально разра­
батываемый) алгебраич. аппарат. Для С. имеется
ряд таких алгебраич. представлений. Одним из них
является т. н. нижняя полуструктура.
Нижней полуструктурой наз. такое частично^упоря-
доченное (см. Порядка отношение) множество М,
для всякой пары элементов к-рого (а, Ъ), принадле­
жащих к М (а, Ъ^М), определена нек-рая двумест­
ная операция, называемая композицией, такая, что
она порождает элемент а-Ъ (точка есть знак компози­
ции), обладающий след. свойством: a-bs^a, а-Ъ^Ъ и,
если к.-л. элемент d множества М таков, что с?<а
и d<ib, то d^a-b (а-Ь наз. точной нижней гранью для
а и Ь). Этому определению эквивалентно другое:
множество М с одной определенной в нем двуместной
операцией композиции наз. полуструктурой, если эта
операция удовлетворяет условиям идемпотент­
ности (а- а=а), коммутативности
(а-Ъ=Ъ-а) и ассоциативности (а-(Ъ-с) =
= (а-Ь)-с). Нулевым элементом такой полуструктуры
наз. такой элемент 0, что Os^a (или а-0 = 0) для любого
а£М. Полагая 4 возможных результата для компо­
зиции элементов а и Ь в полуструктуре: а-Ъ=а (или
а-Ъ = 6), а-Ь = 0, a-b>0, a-b(или а-Ъ<Ъ) соответст­
венно четырем осн. типам силлогистич. высказываний
Aab, Eab, lab и ОаЪ, мы представляем осн. проблему
С. (выяснение условий, при к-рых из одного или
более высказываний — посылок, с необходимостью
следует нек-рое новое высказывание — заключение)
как задачу нахождения композиции к.-л. двух эле­
ментов, напр. а и с, если известны композиции каж­
дого из них с нек-рым третьим элементом Ъ. Разреши­
мые случаи этой задачи для не нулевых а, Ъ и с соот­
ветствуют правильным модусам силлогизма, неразре­
шимые — неправильным. Др. алгебраич. модель С.
предложил П. Лоренцен (см. P. Lorentzen, Cher die
Syllogismen als Berationen-Multiplicationen, «Arch.
math. Logik und Grundlagenforsch.», 1957, Bd 3,
№ 3—4). Рассматривая силлогизмы как произведения
двуместных отношений между силлогистич. термина­
ми, он представил теорию С. в виде таблицы умноже­
ния в полугруппе таких отношений.

Помимо описанной теории классического (аристоте­левского) силлогизма и упоминавшейся выше С, не предполагающей непустоту предикатов, соответ-