2015-04-20
3734
Определение предела функции по Коши: пусть f (x) определена на множестве X, и a - предельная точка X. Число b называется пределом f (x) при x ® a, если " e > 0 $ d > 0 такое, что " x Î {0 < ½ x - a ½< d}½: ½ f (x) - b ½ < e.
Определени е предела функции в точке a по Гейне:
b называется пределом f (x) при x ® a, если " { x n} ® a (x n ¹ a): { f (x n)} ® b.
[13] Сформулировать отрицание определения предела по Гейне.
Теорема 6.5. Определения предела функции в точке a по Гейне и по Коши эквивалентны.
Доказательство.
1. Пусть 
f (x) = b по Коши. (1)
Требуется доказать, что " { x n} ® a (x n ¹ a) соответствующая последовательность { f (x n)} ® b, то есть " e > 0 $ N, " n > N: ½ f (x n) - b ½ < e. (2). Рассмотрим произвольную последовательность { x n} ® a (x n ¹ a). Возьмем e > 0. В силу условия (1) $ d > 0,
" x Î {0 <½ x - a ½< d}: ½ f (x) - b ½ < e. (3). В свою очередь, так как { x n} ® a (x n ¹ a), то для указанного d $ N, " n > N: 0 <½ x n - a ½ < d (4). Из (4) и (3) следует, что " n > N: ½ f (x n) - b ½ < e, то есть выполнено условие (2), что и требовалось доказать.
|
|
|
2. Пусть f (x) = b по Гейне. (5)
Предположим, что f (x) ¹ b по Коши. Тогда $ e > 0 такое, что " d > 0 $ x Î {0 <½ x - a ½< d}: ½ f (x) - b ½³ e. Возьмем какую-нибудь последовательность {dn} ® +0 (dn > 0). Например, можно взять dn = 
. Согласно сказанному выше,
" dn $ x n Î 
: ½ f (x n) - b ½³ e. (7)
Из (6) следует, что { x n} ® a (x n ¹ a). Отсюда в силу условия (5) следует, что { f (x n)} ® b, и поэтому 
= 0. С другой стороны, в силу неравенства (7) ³ e > 0. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f (x) = b по Коши.
