2015-04-20
1253
Определение: Пусть a - предельная точка области определения f (x). Говорят, что функция f (x) удовл. в точке a условию Коши, если " e > 0 $ d > 0, " x ' и x '', 0 <½ x ' - a ½ < d, 0 <½ x ''- a ½ < d:
½ f (x ') - f (x '')½ < e.
Условие Коши для функции аналогично условию фундаментальности последовательности.
Теорема 6.6. (Критерий Коши) Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши.
Доказательство.
1. Необходимость. Дано: $ 
f (x) = b. Требуется доказать: f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Зададим произвольное e > 0. Согласно определению предела функции по Коши,
$ d > 0, " x ' Î {0 <½ x ' - a ½ < d}, ½ f (x ') - b ½ < 
, и
$ d > 0, " x '' Î {0 <½ x '' - a ½ < d}, ½ f (x '') - b ½ < .
Отсюда следует, что " x ' Î {0 <½ x ' - a ½ < d} и " x '' Î {0 <½ x '' - a ½ < d}: ½ f (x ') - f (x '')½ =
= ½(f (x ') - b) - (f (x '') - b)½£ 
+ 
< e. А это и означает, что f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши.
